Як побудувати довірчий інтервал

Як побудувати довірчий інтервал

Інтервал (l1, l2), центром якого є оцінка l *, і в якому з вірогідність альфа укладено істинне значення параметра, називається довірчим інтервалом, відповідним довірчої ймовірності альфа. Варто зазначити, що сама l * відноситься до оцінок точковим, а довірчий інтервал — до інтервальним.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Слід сказати кілька слів про самі оцінках. Нехай за результатами вибіркових значень випадкової величини Х {x1, x2 ,…, xn} потрібно визначити невідомий параметр l, від якого залежить розподіл. Отримання оцінки параметра l * полягає в тому, що кожній вибірці ставиться у відповідність деяке значення параметра, тобто створюється функція результатів спостереження Q, значення якої і приймається рівним оціночним значенням параметра l *= Q (x1, x2 ,…, xn) .
  2. Будь-яка функція результатів спостережень називається статистикою. Якщо при цьому вона повністю описує даний параметр (явище), то її називають достатньою статистикою. Так як результати спостережень випадкові, то l * також випадкова величина.

    Завдання визначення статистики повинна вирішуватися з урахуванням її критеріїв якості. При цьому слід зазначити, що закон розподілу оцінки цілком визначений, якщо відомо розподіл W (x, l) (W — щільність імовірності).
  3. Довірча ймовірність вибирається самим дослідником і повинна бути досить великою, тобто такою, щоб в умовах даної задачі її можна було б вважати ймовірністю практично достовірної події.

              Довірчий інтервал може бути обчислений найбільш просто, якщо відомий закон розподілу оцінки. Для прикладу можна розглянути довірчий інтервал оцінки математичного сподівання (середнє значення випадкової величини) mx * = (1 / n) (x1 + x2 + … + xn). Така оцінка є незміщеної, тобто її математичне сподівання (середнє значення) дорівнює істинному значенню параметра (М {mx *} = mx).
  4. Крім того, легко встановити, що дисперсія оцінки математичного сподівання Бх * ^ 2 = Dx / n. На основі центральної граничної теореми можна зробити висновок, що закон розподілу цієї оцінки гауссовский (нормальний). Отже, для проведення розрахунків можна використовувати інтеграл ймовірностей Ф (z) (не треба плутати з Ф0 (z) — однієї з форм інтеграла). Тоді, вибравши довжину довірчого інтервалу рівною 2lд, вийде:

     альфа = P {mx-lд

    (Використано властивість інтеграла ймовірностей Ф (-z) = 1 — Ф (z)).
  5. Звідси випливає наступна методика побудови довірчого інтервалу оцінки математичного сподівання:

    1. Поставивши собі за довірчою ймовірністю альфа, знайдіть величину (альфа +1) / 2.

    2. За таблицями інтеграла ймовірності виберете значення lд / sqrt (Dx / n).

    3. Так як справжня дисперсія невідома, замість неї можна взяти її оцінку:

                                          Dx *= (1 / n) ((x1 — mx *) ^ 2 + (x2 — mx *) ^ 2 + … + (xn — mx *) ^ 2).

    4. Знайдіть lд.

    5. Запишіть довірчий інтервал (mx *- lд, mx * + lд)

Зверніть увагу

При визначенні інших, ніж математичне сподівання, оцінок, обчислюються суми і досить довгі (див. наприклад, наведену тут оцінку дисперсії). У цих умовах закон розподілу самої суми необмежено наближається до нормального. Тому методика знаходження їх довірчих інтервалів не змінюється. У виняткових випадках вводяться різного роду поправочні коефіцієнти.