Як побудувати еліпсоїд


 

Еліпс є окремим випадком кривої другого порядку. Якщо обертати цю криву уздовж своєї осі, можна отримати просторову ізометричну фігуру — еліпсоїд. У перетині еліпсоїда розташоване нескінченну кількість еліпсів.



Вам знадобиться

Лінійка для побудови еліпсів, олівець, ластик.

Інструкція


  1. Рис.1

                            В якості вихідної фігури використовуйте еліпс з великої півосі a і малої півосі b, як показано на малюнку 1. Якщо взяти відстань АВ рівним 2a, а відстань DC — рівним 2b і повернути еліпс навколо однієї з цих осей, можна отримати еліпсоїд обертання. В загальному вигляді еліпсоїд виходить шляхом деформації сфери вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей. Він відноситься до поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння цієї фігури має вигляд:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = 1.

    перерізами площині Oxz, Oxy, Oyz є еліпси. Існує три види еліпсоїдів: тривісний, еліпсоїд обертання і сфера. У тривісного еліпсоїда все півосі різні, а у еліпсоїда обертання дорівнюють лише дві півосі. У сфери все півосі між собою рівні. Побудова всіх трьох видів еліпсоїдів ведеться за однаковою схемою. Рівняння еліпсоїда обертання має вигляд:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / a ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = 1.

    У сфери все півосі рівні (a = b = c), а її рівняння виглядає так:

    x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1.

    Тривісний еліпсоїд описується стандартним рівнянням:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = 1.


  2. Для того щоб побудувати еліпсоїд ви методом перетинів, спочатку ознайомтеся з рівняннями, що характеризують кожну з площин:

    [z = 0 площину Oxy (перетин — еліпс з півосями a і b);
     [X ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1.

    [y = 0 площину Oxz (перетин — еліпс з півосями a і с);
     [Х ^ 2 / a ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2 = 1.

    [x = 0 площину Ozy (перетин — еліпс з півосями b і c)
     [Y ^ 2 / b ^ 2 + z ^ 2 / c ^ 2.


  3. Отримавши перетину різної величини, побудуйте в усіх трьох площинах еліпси. Вийде тривісний еліпсоїд. Зобразіть тривимірну систему координат з центром в точці О. Спочатку побудуйте еліпс в площині Oxy. Для цього накресліть допоміжний паралелограм, в який і впишіть даний еліпс. Аналогічним чином зобразите і два інших еліпса в площинах Oxz і Ozy. Після того як всі еліпси накреслені, зітріть всі допоміжні паралелограми. Тепер залишається окреслити навколо всіх трьох еліпсів загальну лінію, щоб зобразити поверхню еліпсоїда. Невидимі лінії можна теж стерти, а видимі залишити. За такою ж схемою можна будувати еліпсоїд обертання і сферу. Сфера по зовнішньому вигляду являє собою порожнистий кулю.