Як побудувати гіперболоїд

Як побудувати гіперболоїд

Початкові знання про гіперболі стають відомі зі шкільного курсу геометрії. Надалі, вивчаючи у вузі аналітичну геометрію, яких навчають отримують додаткові уявлення про гіперболі, гіперболоїд та їх властивості.

Інструкція

  1. Уявіть, що є гіпербола і деяка лінія, яка проходить через початок координат. Якщо гіперболу почати обертати навколо цієї осі, виникне порожнисте тіло обертання, яке називається гіперболоїдом. Існує два види гіперболоїдом: однопорожнинні і двопорожнинні. Однопорожнинні гіперболоїд задається рівнянням виду:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2-z ^ 2 / c ^ 2 = 1

    Якщо розглядати дану просторову фігуру щодо площин Oxz і Oyz, можна помітити, що основними її перетинами є гіперболи. Однак, перетином однополостного гіперболоїда площиною Oxy є еліпс. Найменший еліпс гіперболоїда називається горловим еліпсом. У цьому випадку, z = 0, а еліпс проходить через початок координат. Рівняння горлового еліпса при z = 0 записується наступним чином:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1

    Решта еліпси мають рівняння наступного виду:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 + h ^ 2 / c ^ 2, де h — висота однополостного гіперболоїда.
  2. Побудова гіперболоїда почніть з зображення гіперболи в площині Xoz. Начартіте дійсну піввісь, яка збігається з віссю y і уявну піввісь, збігається з z. Побудуйте гіперболу, а потім задайте деяку висоту h гіперболоїда. Після цього, на рівні заданої висоти проведіть прямі, паралельні Ox і перетинають графік гіперболи в нижніх і верхніх точках.

    Потім аналогічним чином у площині Oyz побудуйте гіперболу, де b — дійсна піввісь, що проходить через вісь y, а с — уявна піввісь, також збігається з c.

    Побудуйте в площині Oxy паралелограм, який виходить шляхом з’єднання точок графіків гіпербол. Накресліть горловий еліпс таким чином, щоб він був вписаний в цей паралелограм. Аналогічним чином побудуйте інші еліпси. В результаті вийде креслення тіла обертання — однополостного гіперболоїда, зображеного на мал.1
  3. Двопорожнинні гіперболоїд отримав свою назву через двох різних поверхонь, які утворені віссю Oz. Рівняння такого гіперболоїда має наступний вигляд:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2-z ^ 2 / c ^ 2 =- 1

    Дві порожнини виходять при побудові гіперболи в площині Oxz і Oyz. У двопорожнинні гіперболоїда перетину — еліпси:

    x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = h ^ 2 / c ^ 2-1

    Також, як і у випадку з однопорожнинні гіперболоїдом, побудуйте в площинах Oxz і Oyz гіперболи, які розташовуватимуться таким чином, як показано на малюнку 2. Побудуйте внизу і вгорі паралелограми для побудови еліпсів. Побудувавши еліпси, приберіть все проекції побудови, а потім накресліть двопорожнинні гіперболоїд.