Як побудувати гіперболу

Як побудувати гіперболу

У елементарної і вищої математики зустрічається такий термін, як гіпербола. Так називають графік функції, який не проходить через початок координат і являє собою дві паралельні один одному криві. Існує кілька способів побудови гіперболи.

Інструкція

  1. Гіпербола так само, як і інші криві може бути побудована двома способами. Перший з них полягає в побудові по прямокутнику, а другий — за графіком функції f (x) = k / x.

    Починати будувати гіперболу слід з побудови прямокутника з кінцями по осі x, іменованими A1 і A2, і з протилежними кінцями по осі y, іменованими B1 і B2. Проведіть прямокутник через центр координат, як показано на малюнку 1. Сторони повинні бути паралельні і рівні за величиною як A1A2, так і B1B2. Через центр прямокутника, тобто початок координат, проведіть дві діагоналі. Прочертивши ці діагоналі, ви отримаєте дві прямі, які є асимптотами графіка. Побудуйте одну гілку гіперболи, а потім, аналогічним чином, і протилежну. Функція є зростаючою на проміжку [a; ∞]. Тому її асимптотами будуть: y = bx / a; y =- bx / a. Рівняння гіперболи набуде вигляду:

    y = b / a √ x ^ 2-a ^ 2
  2. Якщо замість прямокутника використовувати квадрат, вийде равнобочная гіпербола, як на малюнку 2. Її канонічне рівняння має вигляд:

    x ^ 2-y ^ 2 = a ^ 2

    У равнобочной гіперболи асимптоти перпендикулярні один одному. Крім того, між y і x є пропорційна залежність, яка полягає в тому, що якщо x зменшити в заданий число раз, то y збільшиться в стільки ж разів, і навпаки. Тому, по-іншому рівняння гіперболи записується у вигляді:

    y = k / x
  3. Якщо умови дана функція f (x) = k / x, то доцільніше будувати гіперболу по точках. Враховуючи, що k — величина постійна, а знаменник x ≠ 0, можна прийти до висновку, що графік функції не проходить через початок координат. Відповідно, інтервали функції рівні (- ∞; 0) і (0; ∞), так як при зверненні x в нуль функція втрачає сенс. При збільшенні x функція f (x) убуває, а при зменшенні зростає. При наближенні x до нуля дотримується умова y → ∞. Графік функції зображений на основному малюнку.
  4. Для побудови гіперболи методом розрахунку зручно використовувати калькулятор. Якщо він здатний працювати за програмою або хоча б запам’ятовувати формули, можна змусити його здійснити розрахунок кілька разів (по числу точок), не набираючи вираз щоразу заново. Ще зручніше в цьому сенсі графічний калькулятор, який візьме на себе, крім розрахунку, і побудова графіка.