Для побудови графіка заданої функції Y = f (X) необхідно провести дослідження даного виразу. Строго кажучи, в більшості випадків мова йде про побудову ескізу графіка, тобто деякого фрагмента. Межі цього фрагмента визначаються граничними значеннями аргументу Х або самого виразу f (X), які можливо фізично відобразити на папері, екрані і т.д.
Інструкція
- Насамперед треба з’ясувати область визначення функції, тобто при яких значеннях х вираз f (x) має значення. Для прикладу розглянемо функції y = x ^ 2, графік якої зображено на мал.1. Очевидно, що областю визначення функції є вся пряма OX. Областю визначення функції y = sin (x) також є вся вісь абсцис (рис.1, знизу).
- Далі визначимо область значень функції, тобто які значення може приймати у при значеннях х, що належать області визначення. У нашому прикладі значення виразу y = x ^ 2 не може бути негативним, тобто область значень нашої функції — безліч невід’ємних чисел від 0 до безкінечності.
Область значень функції y = sin (x) є відрізок осі OY від -1 до +1, т.к. синус якого кута не може бути більше 1. - Тепер визначимо парність функції. Функція є парною, якщо f (x) = f (-x) і непарній, якщо f (-x) =- f (x). У нашому випадку y = x ^ 2 функція — парна, функція y = sin (x) — непарна, тому досить досліджувати поведінку цих функцій лише при позитивних (негативних) значеннях аргументу.
Лінійна функція у = а * х + b не має властивості парності, тому досліджувати подібні функції необхідно на всій області їх визначення. - Наступним кроком буде знаходження точок перетину графіка функції з осями координат.
Вісь ординат (ОY) перетинається при х = 0, тобто треба знайти f (0). У нашому випадку f (0) = 0 — графіки обох функцій перетинають вісь ординат у точці (0, 0).
Для знаходження точки перетину графіка з віссю абсцис (нулів функції) необхідно вирішити рівняння f (x) = 0. У першому випадку це найпростіше квадратне рівняння x ^ 2 = 0, тобто х = 0, тобто вісь ОХ також перетинається один раз в точці (0, 0).
У разі y = sin (x) вісь абсцис перетинається безліч разів з кроком Пі (рис.1, знизу). Цей крок називається періодом функції, тобто функція є періодичною. - Для знаходження ектремумов (мінімальних і максимальних значень) функції можна обчислити її похідну. У тих точках, де значення похідної функції дорівнює 0, вихідна функція приймає екстремальне значення. У нашому прикладі похідна функції y = x ^ 2 дорівнює 2х, тобто в точці (0, 0) є єдиний мінімум.
Функція y = sin (x) має нескінченне число екстремумів, т.к. її похідна y = cos (x) також є періодичною з періодом Пі. - Після того, як заброньований достатню дослідження функції, можна знайти значення функції при інших значеннях її аргументу для отримання додаткових точок, через які проходить її графік. Потім всі знайдені точки можна об’єднати в таблицю, яка і буде служити основою для побудови графіка.
Для залежності y = x ^ 2 визначимо наступні точки (0, 0) — нуль функції і її мінімум, (1, 1), (-1; 1), (2, 4), (-2, 4).
Для функції y = sin (x) досить буде її нулів — (0, 0), (Пі + n * Пі, 0), максимумів — (Пі / 2 +2 * n * Пі; 1) і мінімумів — (-Пі / 2 +2 * n * Пі; -1). У цих висловлюваннях n-ціле число.
