Як побудувати параболоїд

Як побудувати параболоїд

При обертанні параболи навколо своєї осі виходить об’ємна фігура, яка називається параболоїдом. У параболоїда є кілька перетинів, серед яких основне — це парабола, і наступне — це еліпс. При побудові враховуються всі характеристики графіка параболи, від якої залежить форма і вид параболоїда.

Інструкція

  1. Якщо повернути параболу на 360 градусів навколо своєї осі, можна отримати звичайний еліптичний параболоїд. Він являє собою порожнисте ізометричне тіло, перетинами якого є еліпси і параболи. Еліптичний параболоїд задається рівнянням виду:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 2z

    Усі головні перетину параболоїда є параболами. При перетині площині XOZ і YOZ виходять тільки параболи. Якщо провести перпендикулярне перетин відносно площини Xoy, можна отримати еліпс. Причому, перетини, що представляють собою параболи, задаються рівняннями виду:

    x ^ 2 / a ^ 2 = 2z; y ^ 2 / a ^ 2 = 2z

    Перетини еліпса задаються іншими рівняннями:

    x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 2h

    Еліптичний параболоїд при a = b перетворюється в параболоїд обертання. Побудова параболоїда має ряд деяких особливостей які потрібно враховувати. Операцію почніть з підготовки основи — креслення графіка функції.
  2. Для того щоб почати будувати параболоїд, потрібно спочатку побудувати параболу. Накресліть параболу в площині Oxz, як показано на малюнку. Задайте майбутньому параболоїда певну висоту. Для цього проведіть пряму таким чином, щоб вона стосувалася верхніх точок параболи і була паралельно осі Ox. Потім накресліть параболу в площині Yoz і проведіть пряму. Ви отримаєте дві параболоїдного площині, перпендикулярні один одному. Після цього в площині Xoy побудуйте паралелограм, який допоможе накреслити еліпс. У цей паралелограм впишіть еліпс таким чином, щоб він стосувався всіх його сторін. Після цих перетворень зітріть паралелограм, і залишиться об’ємне зображення параболоїда.
  3. Існує також гіперболічний параболоїд, який має більш увігнуту форму, ніж еліптичний. Його перетину також мають вит параболи, а в деяких випадках — гіперболи. Головні перерізу по Oxz і Oyz, як і у еліптичного параболоїда, є параболи. Вони задаються рівняннями виду:

    x ^ 2 / a ^ 2 = 2z; y ^ 2 / a ^ 2 =- 2z

    Якщо провести розтин щодо осі Oxy, можна отримати гіперболу. При побудові гіперболічного параболоїда керуйтеся наступним рівнянням:

    x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = 2z — рівняння гіперболічного параболоїда
  4. Спочатку побудуйте нерухому параболу в площині Oxz. У площині Oyz накресліть рухливу параболу. Після цього задайте висоту параболоїда h. Для цього відзначте на нерухомій параболі дві точки, які будуть вершинами ще двох рухомих парабол. Потім покажіть ще одну систему координат O’x'y ‘, щоб завдати гіперболи. Центр цієї системи координат повинен збігатися з висотою параболоїда. Після всіх побудов зобразите ті дві рухливі параболи, про які згадувалося вище, так щоб вони стосувалися крайніх точок гіпербол. В результаті вийде гіперболічний параболоїд.