Як побудувати перетин площин


 

Перетин двох площин задає просторову пряму. Будь-яку пряму можна побудувати за двома точками, проводячи її безпосередньо в одній з площин. Завдання вважається вирішеною, якщо вдалося знайти дві конкретні точки прямий, що у перетині площин.



Інструкція


  1. Як побудувати перетин площин

                            Нехай пряма задана перетином двох площин (див. рис.), Для чого дано їх загальні рівняння.
    A1x + B1y + C1z + D1 = 0 і
    A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
    Шукана пряма належить обом цим площинам. Відповідно, можна зробити висновок, що всі її точки можна знайти з розв’язку системи двох цих рівнянь.
  2. Нехай, для прикладу, площини будуть задані наступними виразами:
     4x-3y4z +2 = 0 і 3x-y-2z-1 = 0.
    Вирішувати це завдання можна будь-яким зручним для вас способом. Нехай z = 0, тоді дані рівняння можна переписати у вигляді: 4x-3y = -2 і 3x-y = 1.
        
  3. Відповідно, «у» можна виразити так: y = 3x-1. Таким чином, будуть мати місце вирази: 4x-9x +3 = -2; 5x = 5; x = 1; y = 3-1 = 2. Перша точка шуканої прямий — М1 (1, 2, 0).
  4. Тепер припустимо, що z = 1. З вихідних рівнянь вийде:
    1. 4x-3y-1 +2 = 0 і 3x-y-2-1 = 0 або 4x-3y = -1 і 3x-y = 3.
    2. y = 3x-3, тоді перший вираз матиме вигляд 4x-9x +9 = -1, 5x = 10, x = 2, y = 6-3 = 3.
    Виходячи з цього, друга точка має координати М2 (2, 3, 1).
  5. Якщо провести через М1 і М2 пряму, то завдання буде вирішено. Тим не менш, можна привести більш наочний спосіб знаходження положення шуканої прямої рівняння — складання канонічного рівняння.
  6. Воно має вигляд (x-x0) / m = (y-y0) / n = (z-z0) / p, тут {m, n, p} = s — координати направляючого вектора прямої. Оскільки в розглянутому прикладі знайдені дві точки шуканої прямої, то її направляючий вектор s = M2M2 = {2-1, 3-2, 1-0} = {1, 1, 1}. Як M0 (x0, y0, z0) можна взяти будь-яку з точок (М1 або М2). Нехай це буде М1 (1, 2, 0), тоді канонічні рівняння прямої перетину двох площин прийме вигляд:
    (X-1) = (y-2) = z.