Як побудувати поліном


 

В поставленому питанні відсутні відомості про необхідну поліномі. Взагалі-то, поліном є звичайним многочленом виду Pn (x) = Cnx ^ n + C (n-1) x ^ (n-1) + … + C1x + C0. У даній статті буде розглянуто многочлен Тейлора.


Інструкція

  1. Нехай функція y = f (x) має в точці a похідні до n-го порядку включно. Многочлен слід шукати у вигляді:
                            Тn (x) = C0 + C1 (xa) + C2 (xa) ^ 2 + C3 (xa) ^ 3 + … + C (n-2) (xa) ^ 2 + C1 (xa) + C0, (1)
    значення якого в х = а збігаються з f (a).
                               f (a) = Tn (a), f ‘(a) = T’n (a), f» (a) = T» n (a), …, f ^ (n) (a) = ( T ^ n) n (a). (2)
    Для знаходження многочлена потрібно визначити його коефіцієнти Сi. За формулою (1) значення многочлена Tn (x) в точці a: Tn (a) = C0. При цьому з (2) слід f (a) = Tn (a), тому С0 = f (a).
    Тут f ^ n і T ^ n n-е похідні.
        
  2. Диференціюючи рівність (1), знайдіть значення похідної Т’n (x) в точці a:
                        Т’n (x) = С1 +2 С2 (xa) +3 C3 (xa) ^ 2 + … + nCn (xa) ^ (n-1), f ‘(a) = T’n (a) = С1. < br />
    Таким чином, С1 = f ‘(a).
    Тепер продіфференціруйте (1) ще раз і покладіть в похідній T» n (х) в точці х = а.
    Т» n (x) = 2С2 +3 C3 (xa) +4 C4 (xa) ^ 2 + … + n (n-1) Cn (xa) ^ (n-2), f ‘(a) = T’n (a) = С2.
    Таким чином, С2 = f» (a).
    Повторіть дії ще раз і знайдіть С3.
    Т» ‘n (x) = (2) (3C3 (xa) +3 (4) C4 (xa) ^ 2 + … + n (n-1) (na) Cn (xa) ^ (n-3) , f» ‘(a) = T»’ n (a) = 2 (3) С2.
    Таким чином, 1 * 2 * 3 * С3 = 3! C3 = f» ‘(a). C3 = f» ‘(a) / 3!
        
  3. Процес слід продовжувати аж до n-й похідної, де отримаєте:
    (T ^ n) n (х) = 1 * 2 * 3 * … (n-1) * nСn = n! C3 = f ^ n (a). Cn = f ^ (n) (a) / n!.
    Таким чином, шуканий многочлен має вигляд:
                   Тn (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) + (f» (a) / 2) (xa) ^ 2 + (f»’ (a) / 3!) (Xa) ^ 3 + … + (f ^ (n) (a) / n!) (xa) ^ n.
    Цей многочлен називається многочленом Тейлора функції f (x) за ступенями (xa). Многочлен Тейлора має властивість (2).
        
  4. Приклад. Уявити многочлен P (x) = x ^ 5-3x ^ 4 +4 x ^ 2 +2 x -6 поліномом третього порядку Т3 (х) по ступеням (х +1).
    Рішення. Слід шукати рішення у вигляді Т3 (х) = С3 (x +1) ^ 3 + С2 (x +1) ^ 2 + С1 (x +1) + С0. а = -1. Коефіцієнти розкладання шукайте на основі отриманих формул.
    C0 = P (-1) = -8, C1 = P ‘(-1) = 5 (-1) ^ 4-12 (-1) ^ 3 +8 (-1) +2 = 11, C2 = (1 / 2) P» (-1) = (1/2) (20 (-1) ^ 3-36 (-1) ^ 2-8) = -32,
    C3 = (1/6) P» ‘(-1) = (1/6) (60 (-1) ^ 2-72 (-1)) = 22.
    Відповідь. Відповідний поліном 22 (x +1) ^ 3-32 (x +1) ^ 2 +11 (x +1) -8.