Як помножити вектор на матрицю

Як помножити вектор на матрицю

У теорії матриць вектором називається матриця, що має лише один стовпець або тільки один рядок. Множення такого вектора на іншу матрицю відбувається за загальними правилами, однак має і свої особливості.

Інструкція

  1. За визначенням твору матриць множення можливо тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців першого множника дорівнює кількості рядків другого. Отже, вектор-рядок вдасться помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж рядків, скільки елементів у вектор-рядку. Аналогічно, вектор-стовпець можна помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж стовпців, скільки елементів у вектор-стовпці.
  2. Множення матриць некомутативних, тобто якщо A і B — матриці, то A * B ≠ B * A. Більше того, існування твору A * B зовсім не гарантує існування твору B * A. Наприклад, якщо матриця A має розміри 3 * 4, а матриця B — 4 * 5, то твір A * B — матриця розміром 3 * 5, а B * A не визначено.
  3. Нехай заданий: вектор-рядок A = [a1, a2, a3 ... an] і матриця B розмірності n * m, елементи якої рівні:

    [B11, b12, b13, ... b1m;

    b21, b22, b23, ... b2m;

    ...

    bn1, bn2, bn3, ... bnm].
  4. Тоді твір A * B буде вектор-рядком розмірності 1 * m, причому кожен елемент її дорівнює:

    Cj = Σai * bij (i = 1 … n, j = 1 … m).

    Іншими словами, для знаходження i-того елемента твору потрібно помножити кожен елемент вектора-рядка на відповідний йому по порядку елемент i-того стовпця матриці і підсумувати ці твори.
  5. Аналогічно, якщо задана матриця A розмірності m * n і вектор-стовпець B розмірності n * 1, то їх добуток буде вектором-стовпцем розмірності m * 1, i-тий елемент якого дорівнює сумі добутків елементів вектора-стовпця B на відповідні їм елементи i -того рядка матриці A.
  6. Якщо A — вектор-рядок розмірності 1 * n, а B — вектор-стовпець розмірності n * 1, то твір A * B є числом, рівним сумі творів відповідних елементів цих векторів:

    c = Σai * bi (i = 1 … n).

    Це число називається скалярним, або внутрішнім, твором.
  7. Результат множення B * A в цьому випадку є квадратною матрицею розмірності n * n. Її елементи дорівнюють:

    Cij = ai * bj (i = 1 … n, j = 1 … n).

    Така матриця називається зовнішнім добутком векторів.

Джерела