В геометрії існує кілька видів діагоналей. Діагоналлю називається відрізок, який з’єднує дві не сусідні (не належать одній стороні або одному ребру) вершини багатокутника або багатогранника. Розрізняють так же діагоналі граней, що розглядаються як багатокутники і просторові діагоналі, що з’єднують вершини різних граней багатогранника. Існують фігури, у яких все діагоналі рівні між собою. На площині це правильний п’ятикутник і квадрат, в просторі — правильний октаедр.
Знаючи довжини сторін правильного багатокутника або довжини ребер правильного багатогранника можна обчислити довжину будь діагоналі.
Інструкція
-
У будь-якому правильному многоугольнике кути рівні між собою і обчислюються за формулою
∠ α = (N — 2) * 180 º / N, де ∠ α — будь-який з кутів правильного багатокутника, N — число вершин.
Знаючи кути при вершинах багатокутника, його діагоналі можна обчислити, використовуючи теорему косинусів
BE = √ (AB ² + AE ² — 2 * AB * AE * cos ∠ α) -
Якщо кількість вершин більше п’яти, то для обчислення діагоналей, які з’єднують вершини, що лежать на різних сторонах можна скористатися тією ж теоремою косинусів для обчислення кутів утворюються трикутників. Наприклад, в шестикутнику ABCDEF, для знаходження діагоналі BE, необхідно обчислити діагональ CE, потім по тій же теоремі косинусів обчислити кут ∠ β, тоді ∠ γ = ∠ α — ∠ β. Таким чином,
BE = √ (BC ² + CE ² — 2 * BC * CE * cos ∠ γ).
Зверніть увагу
Для обчислення просторової діагоналі багатогранника, необхідно побудувати перетин, що містить цю діагональ, обчислити кути при вершинах цього перерізу, розглядаючи переріз як плоский багатокутник. Тоді діагональ можна розрахувати за наведеною вище схемою.
