Як порахувати інтерполяцію


 

Задача інтерполяції є окремим випадком завдання апроксимації функції f (x) функцією g (x). Питання полягає в побудові для заданої функції y = f (x) такої функції g (x), що приблизно f (x) = g (x).



Інструкція


  1. Як порахувати інтерполяцію

                            Уявіть собі, що функція y = f (x) на відрізку [a, b] задана таблично (див. рис. 1). Дані таблиці найчастіше містять досвідчені дані. Аргумент записується в порядку зростання (див. рис. 1).
    Тут числа xi (i = 1,2, …, n) називають точками узгодження f (x) з g (x) або просто вузлами.
        

  2. Як порахувати інтерполяцію

                            Функція g (x) називається інтерполюється для f (x), а сама f (x) інтерпольованої, якщо її значення у вузлах інтерполяції xi (i = 1,2, …, n) збігаються із заданими значеннями функції f (x), то є виконуються рівності:
                                                             g (x1) = y1, g (x2) = y2, …, g (xn) = yn. (1)
    Отже, що визначає властивість — збіг f (x) і g (x) у вузлах (див. рис. 2).
        
  3. В інших точках може відбуватися що завгодно. Так, якщо інтерполююча функція містить синусоїди (косінусоіди), то відхилення від f (х) може бути дуже великою, що малоймовірно. Тому використовуються параболічні (точніше, поліноміальні) інтерполяції.
  4. Для функції, заданої таблицею, залишилося знайти многочлен найменшою мірою Р (х) такою, щоб виконувалися умови інтерполяції (1): P (xi) = yi, i = 1,2, …, n. Можна довести, що ступінь такого многочлена не перевищує (n-1). Для того щоб уникнути плутанини, далі завдання будемо вирішувати на конкретному прикладі чотирьохточковий завдання.

  5. Як порахувати інтерполяцію

                            Нехай вузлові точки: x1 = -1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5. y1 = y (-1) = 1, y2 = y (1) = -5, y3 = y (3) = 29, y4 = y (5) = 245.
    У зв’язку з викладеним вище, шукану інтерполяцію слід шукати у вигляді P3 (x).
    Запишіть шуканий многочлен у вигляді P3 (3) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d і складіть систему рівнянь (в числовій формі) a (xi) ^ 3 + b (xi) ^ 2 + c (xi) + d = yi (i = 1, 2, 3, 4) щодо a, b, c, d (див. рис. 3).
        
  6. Вийшла система лінійних рівнянь. Вирішити її будь-яким відомим вам способом (найпростіше методом Гаусса).
    У даному прикладі відповідь: a = 3, b = -4, c = -6, d = 2.
    Відповідь. Інтерполююча функція (многочлен) g (x) = 3x ^ 3-4x ^ 2-6x +2.