Як порахувати межа

Як порахувати межа

Межею функції f (x) при x, що прагне до деякого числа a, називається таке число b, коли для кожного позитивного числа ε можна вказати позитивне число δ, що задовольняє умові: якщо | x — a |

Інструкція

  1. Межа функції f (x) в точці a будемо позначати lim (f (x)), x? a.
  2. Для будь-якої функції, неперервної в точці a, lim (f (x)), x? a = f (a).
  3. Межа суми функцій при x? a дорівнює сумі меж цих функцій при x? a, тобто lim (f (x) + g (x)), x? a = lim (f (x)), x? a + lim (g (x)), x? a.

    Наприклад, lim (3x ^ 2 + 8x), x? 2 дорівнює lim (3x ^ 2), x? 2 + lim (8x), x? 2 = 12 + 16 = 28.
  4. Межа твори функцій при x? a дорівнює добутку меж цих функцій при x? a, тобто lim (f (x) * g (x)), x? a = (lim (f (x)), x? a) * (lim (g (x)), x? a).

    Наприклад, lim (sin (x) * cos (x)), x? 0 дорівнює (lim (sin (x)), x? 0) * (lim (cos (x)), x? 0) = 0 * 1 = 0.
  5. Аналогічно, межа частки функцій при x? a дорівнює приватному від розподілу їх меж, але тільки в тому випадку, якщо межа знаменника не дорівнює нулю: lim (f (x) / g (x)), x? a = (lim (f (x)), x? a) / (lim (g (x)), x? a), якщо lim (g (x)), x? a? 0.

    Наприклад, lim ((5x + 8) / (x — 2)), x? 4 дорівнює (lim (5x + 8), x? 4) / (lim (x — 2), x? 4) = 28 / 2 = 14.
  6. Якщо lim (f (x)), x? a = 0 і lim (g (x)), x? a = 0, то, обчислюючи межа приватного цих функцій в точці a, ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0 / 0. Щоб її усунути, потрібно постаратися розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити ті з них, які звертаються в нуль при x = a.

    Наприклад, нехай потрібно знайти lim ((x ^ 2 — 9) / (x — 3)), x? 3. Спрощуючи дріб, ви отримаєте (x ^ 2 — 9) / (x — 3) = ((x — 3) * (x + 3)) / (x — 3) = x + 3. Отже, шуканий межа дорівнює lim (x + 3), x? 3 = 6.
  7. Якщо lim (f (x)), x? a = ±? і lim (g (x)), x? a = ±?, то при обчисленні межі приватного цих функцій в точці a вам доведеться усунути невизначеність типу? /?. Це можна зробити, спростивши вираз, як і в попередньому випадку. Інший спосіб розкриття невизначеності полягає в тому, щоб розділити чисельник і знаменник на x найбільшою мірою, яка присутня у виразі, а після цього спробувати обчислити межа згідно з наведеними вище правилами.
  8. Якщо чисельник і знаменник приватного f (x) / g (x) одночасно прагнуть до нуля або нескінченності при x? a, то для розкриття невизначеності можна скористатися правилом Лопіталя. Згідно з цим правилом, межа частки функцій в точці a дорівнює межі приватного їх похідних в тій же точці, тобто lim (f (x) / g (x)), x? a = lim (f? (x) / g? (x)), x? a.

    Наприклад, нехай потрібно обчислити lim (x ^ 2 / (x — 5)), x? ?. Диференціюючи обидві функції, ви отримаєте (x ^ 2)? / (X-5)? = 2x / 1 = 2x. Межа цієї функції при x? ? дорівнює?.