Як позбутися від ірраціональності в знаменнику

Як позбутися від ірраціональності в знаменнику

Коректна запис дробового числа не містить ірраціональності в знаменнику. Такий запис і легше сприймається на вигляд, тому при появі ірраціональності в знаменнику розумно від неї позбутися. У цьому випадку ірраціональність може перейти в чисельник.

Інструкція

  1. Для початку можна розглянути найпростіший приклад — 1/sqrt (2). Квадратний корінь з двох — ірраціональне число в знаменнику.

    У цьому випадку необхідно домножити чисельник і знаменник дробу на її знаменник. Це забезпечить раціональне число в знаменнику. Дійсно, sqrt (2) * sqrt (2) = sqrt (4) = 2. Множення двох однакових квадратних коренів один на одного дасть у результаті те, що знаходиться під кожним з коренів: в даному випадку — двійку.

    У результаті: 1/sqrt (2) = (1 * sqrt (2)) / (sqrt (2) * sqrt (2)) = sqrt (2) / 2. Цей алгоритм підходить також до дробям, в знаменнику яких корінь множиться на раціональне число. Чисельник і знаменник у цьому випадку потрібно помножити на корінь, що знаходиться в знаменнику.

    Приклад: 1 / (2 * sqrt (3)) = (1 * sqrt (3)) / (2 * sqrt (3) * sqrt (3)) = sqrt (3) / (2 * 3) = sqrt (3 ) / 6.
  2. Абсолютно аналогічно потрібно діяти, якщо в знаменнику знаходиться не квадратний корінь, а, скажімо кубічний або будь-який інший ступеня. Корінь в знаменнику потрібно множити на точно такий же корінь, на цей же корінь множити і чисельник. Тоді корінь перейде в чисельник.
  3. У більш складному випадку в знаменнику присутній сума або різниця ірраціонального і раціонального числа або двох ірраціональних чисел.

    У випадку суми (різниці) двох квадратних коренів або квадратного кореня і раціонального числа можна скористатися добре відомою формулою (x + y) (xy) = (x ^ 2) — (y ^ 2). Вона допоможе позбутися від ірраціональності в знаменнику. Якщо в знаменнику різниця, то домножать чисельник і знаменник потрібно на суму таких же чисел, якщо сума — то на різницю. Ця домножаемая сума або різниця буде називатися сполученої до вираження, що стоїть в знаменнику.

    Ефект цій схемі добре видно на прикладі: 1 / (sqrt (2) +1) = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) (sqrt (2) -1) = (sqrt (2) -1) / ((sqrt (2) ^ 2) — (1 ^ 2)) = (sqrt (2) -1) / (2-1) = sqrt (2) -1.
  4. Якщо в знаменнику присутній сума (різниця), у якій є корінь більшою мірою, то ситуація стає нетривіальною і позбавлення від ірраціональності в знаменнику не завжди можливо