Як привести до канонічного виду рівняння


 

Коли ставиться питання про приведення рівняння кривої до канонічного увазі те, як правило, маються на увазі криві другого порядку. Це еліпс, парабола та гіпербола. Найпростіший спосіб їх запису (канонічний) хороший тим, що тут можна відразу визначитися з тим, про яку кривої йдеться. Тому стає актуальним завдання приведення рівнянь другого порядку до канонічного виду.


Інструкція

  1. Рівняння плоскої кривої другого порядку має вигляд:
                                                  A ∙ x ^ 2 + B ∙ x ∙ y + C ∙ y ^ 2 + 2D ∙ x + 2E ∙ y + F = 0. (1)
    При цьому коефіцієнти A, B і С не рівні нулю одночасно. Якщо В = 0, то весь сенс завдання приведення до канонічного виду зводиться до паралельного переносу системи координат. Алгебраїчно — це виділення повних квадратів у вихідному рівнянні.
        

  2. Як привести до канонічного виду рівняння

                            При В не дорівнює нулю канонічне рівняння можна отримати лише при підстановках, фактично означають поворот системи координат. Розгляньте геометричний спосіб (див. рис. 1). Ілюстрація на рис. 1 дозволяє зробити висновок, що
    x = u ∙ cosφ — v ∙ sinφ, y = u ∙ sinφ + v ∙ cosφ.
        
  3. Подальші докладні і громіздкі викладки опущені.

    У нових координатах v0u потрібно мати коефіцієнт загального рівняння кривої другого порядку B1 = 0, що досягається вибором кута φ. Зробіть це на основі рівності: 2B ∙ cos2φ = (AC) ∙ sin2φ.

  4. Подальше рішення зручніше проводити на конкретному прикладі.
    Приклад. Перетворити до канонічного виду рівняння x ^ 2 + x ∙ y + y ^ 2-3 ∙ x-6y +3 = 0.
    Рішення. Випишіть значення коефіцієнтів рівняння (1): A = 1, 2B = 1, C = 1, 2D = -3, 2E = -6, F = 3.
    Знайдіть кут повороту φ. Тут cos2φ = 0 і отже sinφ = 1 / √ 2, cosφ = 1 / √ 2.
    Запишіть формули перетворення координат: x = (1 / √ 2) ∙ u-(1 / √ 2) ∙ v, y = (1 / √ 2) ∙ u + (1 / √ 2) ∙ v.
        
  5. Підставте останнє в умову задачі. Отримайте:
    [(1 / √ 2) ∙ u-(1 / √ 2) ∙ v] ^ 2 + [(1 / √ 2) ∙ u-(1 / √ 2) ∙ v] ∙ [(1 / √ 2) ∙ u + +3 = 0, звідки 3u ^ 2 + v ^ 2-9 √ 2 ∙ u +3 √ 2 ∙ v +6 = 0.
        
  6. Для паралельного перенесення системи координат u0v, виділіть повні квадрати та отримайте
    3 (u-3 / √ 2) ^ 2-27/2 + (v +3 / √ 2) ^ 2-9/2 +6 = 0. Позначте X = u-3 / √ 2, Y = v +3 / √ 2. У нових координатах рівняння має вид 3X ^ 2 + Y ^ 2 = 12 або X ^ 2 / (2 ^ 2) + Y ^ 2 / ((2 √ 3) ^ 2). Це еліпс.