Як привести матрицю до ступінчастого вигляду

Як привести матрицю до ступінчастого вигляду

Матриця — це система елементів, розташованих у вигляді прямокутної таблиці. Для визначення рангу матриці, знаходження її визначника і зворотної матриці необхідно привести задану матрицю до ступінчастого вигляду. Матриці ступеневої виду також зручні для виконання інших операцій над матрицями.

Інструкція

  1. Матриця називається ступінчастою, якщо виконані наступні умови:

    • після нульової рядки йдуть тільки нульові рядки;

    • перший ненульовий елемент у кожній наступній рядку розташований правіше, ніж у попередній.

    У лінійній алгебрі є теорема, згідно з якою будь-яка матриця може бути приведена до східчастого вигляду шляхом наступних елементарних перетворень:

    • зміна місцями двох рядків матриці;

    • додаток до одного рядка матриці інший її рядки, помноженої на число.
  2. Розглянемо приведення матриці до ступінчастого вигляду на прикладі матриці A, представленої на малюнку. Вирішуючи завдання, насамперед уважно вивчіть рядки матриці. Чи можливо переставити місцями рядки так, щоб надалі було зручніше проводити обчислення. У нашому випадку ми бачимо, що буде зручно поміняти місцями першу і другу строчки. По-перше, якщо перший елемент першого рядка дорівнює числу 1, то це значно спрощує подальші елементарні перетворення. По-друге, другий рядок вже буде відповідати ступінчастому увазі, тобто перший її елемент дорівнює 0.
  3. Далі Обнулите всі перші елементи стовпців (крім першого рядка). У нашому випадку це зробити простіше, тому що перший рядок починається з числа 1. Тому ми послідовно множимо перший рядок на відповідне число і віднімаємо з отриманої рядка рядок матриці. Обнуляючи третій рядок, множимо перший рядок на число 5 і віднімаємо з результату третій рядок. Обнуляючи четвертий рядок, множимо перший рядок на число 2 і віднімаємо з результату четвертий рядок.
  4. Наступним етапом Обнулите другий елемент рядків, починаючи з третього рядка. Для нашого прикладу для обнулення другого елементу третьому рядку досить помножити другий рядок на число 6 і відняти з результату третю сходинку. Для отримання нуля в четвертому рядку доведеться виконати більш складне перетворення. Треба помножити другий рядок на число 7, а четвертий рядок на число 3. Таким чином ми отримаємо на місці другого елемента рядків число 21. Далі віднімаємо одну сходинку з іншої і одержуємо на місці другого елементу 0.
  5. І нарешті, Обнуляємо третій елемент четвертого рядка. Для цього необхідно помножити третій рядок на число 5, а четвертий рядок на число 3. Віднімаємо один рядок з іншої і одержуємо матрицю A, наведену до східчастого вигляду.

Зверніть увагу

Якщо числа рядків невеликі або зручні для проведення обчислень, то можна виконувати відразу кілька операцій за один крок. В інших випадках краще не поспішати і записати кожен крок окремо.

Корисні поради

В інтернеті можна знайти програми, що призводять матрицю до ступінчастого вигляду. Їх дуже зручно використовувати для перевірки отриманого результату.