Як продиференціювати функцію


 

Операція диференціювання функцій вивчається в математиці, будучи одним з фундаментальних її понять. Однак застосовується вона також і в природничих науках, наприклад, у фізиці.



Інструкція

  1. Метод диференціювання застосовується для знаходження функції, похідної від початкової. Похідна функція — це відношення межі приросту функції до приросту аргументу. Це найпоширеніше уявлення похідної, яку прийнято позначати знаком апострофа «’». Можливо неодноразове диференціювання функції, при цьому утворюються перша похідна f ‘(x), друга f» (x) і т.д. Похідні вищих порядків позначають f ^ (n) (x).
        
  2. Щоб продиференціювати функцію, можна скористатися формулою Лейбніца:
    (F * g) ^ (n) = Σ C (n) ^ k * f ^ (n-k) * g ^ k,
    де C (n) ^ k-прийняті біноміальні коефіцієнти. Найпростіший випадок першої похідної легше розглянути на конкретному прикладі: f (x) = x ^ 3.
        
  3. Отже, за визначенням:
    f ‘(x) = lim ((f (x) — f (x_0)) / (x — x_0)) = lim ((x ^ 3 — x_0 ^ 3) / (x — x_0)) = lim ((x — x_0) * (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) / (x — x_0)) = lim (x ^ 2 + x * x_0 + x_0 ^ 2) при x, що прагне до значення x_0.
        
  4. Позбавляємося від знака межі, підставляючи в отримане вираження значення x, рівне x_0. Отримуємо:
    f ‘(x) = x_0 ^ 2 + x_0 * x_0 + x_0 ^ 2 = 3 * x_0 ^ 2.
        
  5. Розглянемо диференціювання складних функцій. Такими функціями є композиціями або суперпозиції функцій, тобто результат однієї функції є аргументом для іншого:
    f = f (g (x)).
        
  6. Похідна такої функції має вигляд:
    f ‘(g (x)) = f’ (g (x)) * g ‘(x), тобто дорівнює добутку старшої функції по аргументу молодшої на похідну молодшої функції.
        
  7. Щоб продиференціювати композицію з трьох і більше функцій, застосовують те ж правило за наступним принципом:
    f ‘(g (h (x))) = f’ (g (h (x))) * (g (h (x))) ‘= f’ (g (h (x))) * g ‘( h (x)) * h ‘(x).
        
  8. Знання похідних деяких найпростіших функцій є гарною підмогою в рішенні задач на диференціальне числення:
    - Похідна константи дорівнює 0;
    - Похідна найпростішої функції аргументу в першого ступеня x ‘= 1;
    - Похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних: (f (x) + g (x)) ‘= f’ (x) + g ‘(x);
    - Аналогічно похідна твори дорівнює добутку похідних;
    - Похідна частки двох функцій: (f (x) / g (x)) ‘= (f’ (x) * g (x) — f (x) * g ‘(x)) / g ^ 2 (x);
    - (C * f (x)) ‘= C * f’ (x), де C — константа;
    - При диференціюванні ступінь одночлена виноситься у вигляді множника, а сама ступінь знижується на 1: (x ^ a) ‘= a * x ^ (a-1);
    - Тригонометричні функції sinx і cosx в диференціальному численні носять відповідно непарний та парний характер — (sinx) ‘= cosx та (cosx)’ = — sinx;
    - (Tg x) ‘= 1/cos ^ 2 x;
    - (Ctg x) ‘= — 1/sin ^ 2 x.