Як розкласти функцію в ряд

Як розкласти функцію в ряд

Розкладання функції в ряд називається її представлення у вигляді межі нескінченної суми: F (z) = Σfn (z), де n = 1 … ∞, а функції fn (z) називаються членами функціонального ряду.

Інструкція

  1. По ряду причин для розкладання функцій найбільше підходять статечні ряди, тобто ряди, формула яких має вигляд:

    f (z) = c0 + c1 (z — a) + c2 (z — a) ^ 2 + c3 (z — a) ^ 3 + … + cn (z — a) ^ n + …

    Число a називається в цьому випадку центром ряду. Зокрема, воно може бути дорівнює нулю.
  2. Степеневий ряд має радіусом збіжності. Радіус збіжності — таке число R, що якщо | z — a | R він розходиться, при | z — a | = R можливі обидва випадки. Зокрема, радіус збіжності може бути дорівнює нескінченності. У цьому випадку ряд сходиться на всій дійсній осі.
  3. Відомо, що степеневий ряд можна почленно диференціювати, причому сума отриманого ряду дорівнює похідної від суми початкового ряду і має той же радіус збіжності.

    Грунтуючись на цій теоремі, була виведена формула, яка називається поруч Тейлора. Якщо функція f (z) може бути розкладена в степеневий ряд c центром a, то цей ряд буде мати вигляд:

    f (z) = f (a) + f ‘(a) * (z — a) + (f»(a) / 2!) * (z — a) ^ 2 + … + (fn (a) / n!) * (z — a) ^ n,

    де fn (a) — значення похідної n-го порядку від f (z) в точці a. Позначення n! (Читається «ен факторіал») замінює твір всіх цілих чисел від 1 до n.
  4. Якщо a = 0, то ряд Тейлора перетворюється на свій приватний варіант, званий поруч Маклорена:

    f (z) = f (0) + f ‘(0) * z + (f»(0) / 2!) * z ^ 2 + … + (fn (0) / n!) * z ^ n.
  5. Наприклад, нехай потрібно розкласти в ряд Маклорена функцію e ^ x. Оскільки (e ^ x) ‘= e ^ x, то всі коефіцієнти fn (0) дорівнюватимуть e ^ 0 = 1. Отже, загальний коефіцієнт потрібного ряду дорівнює 1 / n!, а формула ряду виглядає наступним чином:

    e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + (X ^ 3) / 3! + … + (X ^ n) / n! + …

    Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тобто він сходиться при будь-якому значенні x. Зокрема, для x = 1 ця формула перетворюється на відомий вислів для обчислення e.
  6. Розрахунок по цій формулі може бути легко виконаний навіть вручну. Якщо вже відомо n-е доданок, то, щоб знайти (n + 1)-е, досить помножити його на x і розділити на (n + 1).