Квадратним рівнянням називають рівняння виду A · x ² + B · x + C. Таке рівняння може мати два кореня, один корінь, або не мати коріння зовсім. Щоб розкласти квадратне рівняння на множники, використовують наслідок з теореми Безу або просто користуються готової формулою.
Інструкція
- Теорема Безу говорить: якщо многочлен P (x) розділити на двочлен (xa), де a — деяке число, то залишком від такого поділу буде P (a) — чисельний результат підстановки числа a у вихідний многочлен P (x).
- Коренем многочлена називається таке число, при підстановці якого в многочлен виходить нуль. Отже, якщо a є коренем многочлена P (x), то P (x) ділиться на двочлен (xa) без залишку, тому що P (a) = 0. А якщо многочлен ділиться на (xa) без залишку, то його можна розкласти на множники у вигляді:
P (x) = k · (xa), де k — деякий коефіцієнт. - Якщо знайти два кореня квадратного рівняння — x1 і x2, то воно розкладеться по них як:
A · x ² + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). - Для пошуку коренів квадратного рівняння важливо пам’ятати універсальну формулу:
x (1,2) = [-B + / - √ (B ^ 2 - 4 · A · C)] / 2 · A. - Якщо вираз (B ^ 2 — 4 · A · C), зване дискримінант, більше нуля, то многочлен має два різних кореня — x1 і x2. Якщо дискримінант (B ^ 2 — 4 · A · C) = 0, то многочлен має один корінь кратності два. По суті, він має ті ж два дійсних кореня, але вони збігаються. Тоді многочлен розкладеться так:
A · x ² + B · x + C = A · (x-x0) · (x-x0) = A · (x-x0) ^ 2. - Якщо дискримінант менше нуля, тобто многочлен не має дійсних коренів, то розкласти на множники такий многочлен неможливо.
- Щоб знайти коріння квадратного многочлена, можна використовувати не тільки універсальну формулу, але також і теорему Вієта:
x1 + x2 =-B,
x1 · x2 = C.
Теорема Вієта стверджує, що сума коренів квадратного тричлена дорівнює коефіцієнту при x, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному коефіцієнту. - Знайти коріння можна не тільки у квадратного многочлена, а й у біквадратного. Біквадратним многочленом називають многочлен виду A · x ^ 4 + B · x ^ 2 + C. Замініть у заданому многочлене x ^ 2 на y. Тоді ви отримаєте квадратний тричлен, який, знову ж таки, можна розкласти на множники:
A · x ^ 4 + B · x ^ 2 + C = A · y ^ 2 + B · y + C = A · (y-y1) · (y-y2).
