Як розрахувати математичне сподівання


 

Математичне сподівання в теорії ймовірностей — середнє значення випадкової величини, яке є розподілом її вірогідності. Фактично розрахунок математичного очікування величини або події — це прогноз його настання в деякому вероятностном просторі.


Інструкція

  1. Математичне сподівання випадкової величини — одна з найважливіших її характеристик в теорії ймовірності. Це поняття пов’язане з розподілом ймовірностей величини і є її середнім очікуваним значенням, обчислюваним за формулою:

    M = ∫ xdF (x), де F (x) — функція розподілу випадкової величини, тобто функція, значення якої в точці х є її ймовірністю; х належить безлічі X значень випадкової величини.

  2. Наведена формула носить назву інтеграла Лебега-Стілтьєса і грунтується на методі розбиття області значень інтегрованої функції на інтервали. Потім підраховується інтегральна сума.
  3. Математичне сподівання дискретної величини прямо випливає з інтеграла Лебега-Стільтьеса:

    М = Σx_i * p_i на інтервалі i від 1 до ∞, де x_i — значення дискретної величини, p_i — елементи безлічі її ймовірностей в цих точках. При цьому Σp_i = 1 при I від 1 до ∞.

  4. Математичне сподівання целочисленной величини може бути виведено через виробляє функцію послідовності. Очевидно, що целочисленная величина є окремим випадком дискретною і має наступний розподіл ймовірностей:

    Σp_i = 1 при I від 0 до ∞ де p_i = P (x_i) — розподіл ймовірностей.

  5. Для того, щоб розрахувати математичне сподівання, необхідно продиференціювати P при значенні х, рівному 1:

    P ‘(1) = Σk * p_k для k від 1 до ∞.

  6. Твірна функція — це степеневий ряд, збіжність якого визначає математичне сподівання. При розбіжності цього ряду математичне сподівання дорівнює нескінченності ∞.
  7. Для спрощення розрахунку математичного сподівання прийняті деякі його найпростіші властивості:

    — математичне сподівання числа є саме це число (константа);
    - Лінійність: M (a * x + b * y) = a * M (x) + b * M (y);
    - Якщо x ≤ y і M (y) — кінцева величина, то математичне сподівання х також буде кінцевою величиною, причому M (x) ≤ M (y);
    - Для x = y M (x) = M (y);
    - Математичне сподівання добутку двох величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: M (x * y) = M (x) * M (y).

Зверніть увагу

Розрахунок математичного очікування широко застосовується в азартних іграх, зокрема в покері. Воно дорівнює середній вигоді того чи іншого рішення гравця, а успіх полягає у виборі кроків тільки з позитивним його значенням.