Як розв’язувати системи лінійних рівнянь

Як розв'язувати системи лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь містить рівняння, в яких всі невідомі містяться в першого ступеня. Є кілька способів вирішення такої системи.

Інструкція

  1. Метод підстановки або послідовного виключення.

    Підстановку використовують в системі з невеликою кількістю невідомих. Це найпростіший метод рішення для нескладних систем. Спочатку з першого рівняння висловлюємо одне невідоме через інші, підставляємо це вираз на друге рівняння. Висловлюємо з перетвореного другого рівняння другого невідоме, підставляємо отримане в третє рівняння і т.д. до тих пір, поки не обчислимо останнє невідоме. Потім підставляємо його значення в попереднє рівняння і дізнаємося передостаннє невідоме і т.д. Розглянемо приклад системи з двома невідомими.

    x + y — 3 = 0

    2x — y — 3 = 0

    Висловимо з першого рівняння x: x = 3 — y. Підставимо в друге рівняння: 2 (3 — y) — y — 3 = 0

    6 — 2y — y — 3 = 0

    3 — 3y = 0

    y = 1

    Підставляємо у перше рівняння системи (або у вираз для x, що одне і те ж): x + 1 — 3 = 0. Отримаємо, що x = 2.
  2. Метод почленного віднімання (або додавання).

    Цей метод часто дозволяє скоротити час вирішення системи та спростити обчислення. Полягає він у тому, щоб проаналізувавши коефіцієнти при невідомих таким чином скласти (або відняти) рівняння системи, щоб виключити частину невідомих з рівняння. Розглянемо приклад, візьмемо ту ж систему, що і в першому методі.

    x + y — 3 = 0

    2x — y — 3 = 0

    Легко бачити, що при y стоять однакові по модулю коефіцієнти, але з різним знаком, тому якщо ми складемо два рівняння почленно, то yдастся виключити y. Виконаємо додавання: x + 2x + y — y — 3 — 3 = 0 або 3x — 6 = 0. Таким чином, x = 2. Підставивши це значення в будь-яке рівняння, знайдемо y.

    Можна, навпаки, виключити x. Коефіцієнти при x однакові за знаком, тому будемо віднімати одне рівняння з іншого. Але в першому рівнянні коефіцієнт при x — 1, а у другому — 2, тому просто вирахуванням не вдасться виключити x. Помножимо перше рівняння на 2, отримаємо таку систему:

    2x + 2y — 6 = 0

    2x — y — 3 = 0

    Тепер почленно віднімемо з першого рівняння друге: 2x — 2x + 2y — (-y) — 6 — (-3) = 0 або, привівши подібні, 3y — 3 = 0. Таким чином y = 1. Підставивши в будь-яке рівняння, знайдемо x.