Як розв’язувати системи рівнянь

Як розв'язувати системи рівнянь

Вирішити систему рівнянь нескладно, якщо скористатися основними способами вирішення систем лінійних рівнянь: методом підстановки і методом складання.

Інструкція

  1. Розглянемо методи розв’язання системи рівнянь на прикладі системи з двох лінійних рівнянь, що мають два невідомих значення. У загальному вигляді така система записується таким чином (зліва рівняння об’єднуються фігурною дужкою):

    Aх + bу = c

    dх + eу = f, де

    а, b, c, d, е, f — коефіцієнти (конкретні числа), а х і у, як завжди — невідомі. Числа а, b, с, d називаються коефіцієнтами при невідомих, а с і f — вільними членами. Рішення такої системи рівнянь знаходиться двома основними методами.

    Рішення системи рівнянь методом підстановки.

    1. Беремо перше рівняння і висловлюємо одне з невідомих (х) через коефіцієнти і інше невідоме (у):

    х = (с-by) / a

    2. Підставляємо отримане для х вираз в друге рівняння:

    d (c-by) / a + ey = f

    3. Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо вираз для у:

    у = (af-cd) / (ae-bd)

    4. Підставляємо отриманий вираз для у у вираз для х:

    х = (се-bf) / (ae-bd)

    Приклад: потрібно вирішити систему рівнянь:

    3х-2у = 4

    х +3 у = 5

    Знаходимо значення х з першого рівняння:

    х = (2у +4) / 3

    Підставляємо отриманий вираз в друге рівняння і отримуємо рівняння з однією змінною (у):

    (2у +4) / 3 +3 у = 5, звідки отримуємо:

    у = 1

    Тепер підставляємо знайдене значення у у вирази для змінної х:

    х = (2 * 1 +4) / 3 = 2

    Відповідь: х = 2, у = 1.
  2. Рішення системи рівнянь методом додавання (віднімання).

    Цей метод зводиться до множення обох частин рівнянь на такі числа (параметри), щоб у результаті коефіцієнти в однієї із змінних збіглися (можливо з протилежним знаком).

    У загальному випадку, обидві частини першого рівняння потрібно помножити на (-d), а обидві частини другого рівняння на а. В результаті отримуємо:

    -Аdx-bdу =- сd

    adx + aey = af

    Склавши отримані рівняння, отримаємо:

    -Bdу + аеу =- сd + АF,

    звідки отримуємо вираз для змінної у:

    у = (af-cd) / (ae-bd),

    підставляючи вираз для у в будь-яке рівняння системи, отримуємо:

    ах + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

    з цього рівняння знаходимо другого невідоме:

    х = (се-bf) / (ae-bd)

    Приклад. Вирішити методом складання або віднімання систему рівнянь:

    3х-2у = 4

    х +3 у = 5

    Помножимо перше рівняння на (-1), а друге на 3:

    -3х +2 У =- 4

    3х +9 у = 15

    Склавши (почленно) обидва рівняння, отримуємо:

    11У = 11

    Звідки отримуємо:

    у = 1

    Підставляємо отримане значення для вида в будь-яке з рівнянь, наприклад, в друге, отримуємо:

    3х +9 = 15, звідки

    х = 2

    Відповідь: х = 2, у = 1.