Як розв’язувати рівняння вищих ступенів


 

Рішення більшості рівнянь вищих ступенів не має чіткої формули, як знаходження коренів квадратного рівняння. Однак існує кілька способів приведення, які дозволяють перетворити рівняння надзвичайно до більш наочного вигляду.



Інструкція

  1. Найбільш поширеним методом розв’язання рівнянь вищих ступенів є розкладання на множники. Цей підхід є комбінацією підбору цілочисельних коренів, дільників вільного члена, і подальше ділення загального многочлена на двочлен виду (x — x0).
        
  2. Наприклад, вирішите рівняння x ^ 4 + x ³ + 2 · x ² — x — 3 = 0.
    Рішення.
    Вільним членом даного многочлена є -3, отже, його цілочисельними дільниками можуть бути числа ± 1 і ± 3. Підставте їх по черзі в рівняння і з’ясуйте, чи вийде тотожність:
    1: 1 + 1 + 2 — 1 — 3 = 0.
        

  3. Як вирішувати рівняння вищих ступенів

                            Отже, перший же можливий корінь дав правильний результат. Розділіть многочлен рівняння на (x — 1). Розподіл многочленів виконується стовпчиком і відрізняється від звичайного поділу чисел тільки наявністю змінної.
        
  4. Перепишіть рівняння в новому вигляді (x — 1) · (x ³ +2 · x ² + 4 · x + 3) = 0. Найбільша ступінь многочлена зменшилася до третьої. Продовжіть підбір коренів уже для кубічного многочлена:
    1: 1 + 2 + 4 + 3 ≠ 0;
    -1: -1 + 2 — 4 + 3 = 0.

  5. Як вирішувати рівняння вищих ступенів

                            Другий корінь x = -1. Поділіть кубічний многочлен на вираз (x + 1). Запишіть вийшло рівняння (x — 1) · (x + 1) · (x ² + x + 3) = 0. Ступінь знизилася до другої, отже, рівняння може мати ще два кореня. Щоб знайти їх, вирішите квадратне рівняння:
    x ² + x + 3 = 0
    D = 1 — 12 = -11
        
  6. Дискримінант — негативна величина, значить, дійсних коренів у рівняння більше немає. Знайдіть комплексні корені рівняння:
    x = (-2 + i · √ 11) / 2 і x = (-2 — i · √ 11) / 2.
        
  7. Запишіть відповідь:
    x1, 2 = ± 1; x3, 4 = -1 / 2 ± i · √ 11/2.
        
  8. Інший метод рішення рівняння вищої міри — заміна змінних для приведення його до квадратному. Такий підхід використовується, коли всі ступені рівняння парні, наприклад:
    x ^ 4 — 13 · x ² + 36 = 0
        
  9. Це рівняння називається біквадратні. Щоб привести його до квадратному, зробіть заміну y = x ². Тоді:
    y ² — 13 · y + 36 = 0
    D = 169 — 4.36 = 25
    y1 = (13 + 5) / 2 = 9; y2 = (13 — 5) / 2 = 4.
        
  10. Тепер знайдіть коріння вихідного рівняння:
    x1 = √ 9 = ± 3; x2 = √ 4 = ± 2.