Як розв’язувати системи нелінійних рівнянь


 

Системи лінійних рівнянь вирішуються за допомогою матриць. Для систем нелінійних рівнянь не існує загального алгоритму рішення. Однак застосування деяких методів може допомогти.



Інструкція

  1. Спробуйте привести одне з рівнянь до хорошого виду, тобто, такого, в якому одне з невідомих легко виражається через інше. Наприклад, рівняння (x ²-2y ²) / xy = 2 при першому розгляді здається складним. Однак можна помітити, що при x ≠ 0, y ≠ 0 воно еквівалентно x ²-2y ² = 2xy, що в кінцевому підсумку приводиться до квадратному рівнянню x ²-2xy-2y ² = 0. Ліву частину легко розкласти на множники: x ²-2xy-2y ² = (x-3y) (x + y). Тепер можна висловити одну змінну через іншу, адже рівняння (x-3y) (x + y) = 0 дає сукупність рішень x-3y = 0, x + y = 0. Залишилося підставити результат в інше рівняння системи і вирішити його.
  2. Іноді в зовнішньо страшних системах нелінійних рівнянь замасковані формули скороченого множення: квадрат суми, квадрат різниці, куб суми, куб різниці, різниця квадратів та інші. Треба вміти їх бачити. Пробуйте складати і віднімати рівняння системи один з одним. Пам’ятайте також і про те, що множення обох частин рівняння на одне і те ж число зберігає вірність рівності. Це теж в деяких випадках може допомогти знайти рішення.
  3. Спробуйте розкласти будь-яка з рівнянь на лінійні множники. Спробуйте вирішити його як квадратне рівняння щодо однієї з невідомих. Раптом дискриминант виявиться повним квадратом? Це значно спростить завдання, адже тоді при пошуку коренів квадратного рівняння ви зможете позбутися від знака квадратного кореня.
  4. Іноді спрацьовує метод заміни змінних. Але тут, звичайно, підібрати підходящу заміну буває дуже складно. Особливо вдала заміна може зробити систему тривіальною. Тільки в кінці не забудьте знайти і записати відповідь для початкових величин, тому що в процесі рішення часто забувається, що ж потрібно знайти.

Корисні поради

Тренуйтеся, набирайтеся досвіду, пробуйте себе в рішенні олімпіадних завдань з математики. З часом нетривіальні системи лінійних рівнянь будуть даватися вам все краще і краще. Якщо якась завдання не виходить, вирішуйте її ввечері, перед сном. Уві сні мозок вирішує денні завдання в іншому режимі, так що ви цілком можете прокинутися вранці, знаючи відповідь.