Як скласти диференціальне рівняння

Як скласти диференціальне рівняння

Вивчення курсу диференціального обчислення завжди починається зі складання диференціальних рівнянь. Перш за все розглядають кілька фізичних задач, при математичному вирішенні яких неминуче виникають похідні різних порядків. Рівняння, які містять аргумент, шукану функцію та її похідні називають диференціальними.

Вам знадобиться

- Ручка;
- Папір.

Інструкція

  1. У вихідних фізичних завданнях аргументом, найчастіше, є час t. Загальний принцип складання диференціального рівняння (ДУ) полягає в тому, що на малих збільшеннях аргументу функції майже не міняються, що дозволяє замінювати приросту функції їх диференціалами. Якщо в постановці завдання мова зайде про швидкість зміни будь-якого параметра, то відразу слід писати похідну параметра (зі знаком мінус, якщо певний параметр зменшується).
  2. Якщо в процесі міркувань і викладень виникли інтеграли, їх можна усунути диференціюванням. І нарешті, у фізичних формулах похідних і так більш ніж достатньо. Найголовніше — розглянути якомога більше прикладів, які в процесі рішення необхідно довести до стадії складання ДУ.
  3. Приклад 1. Як розрахувати зміна напруги на виході заданої інтегруючої RC — ланцюга, при заданому вхідному впливі?

    Рішення. Нехай вхідний напруга U (t), а шукане вихідна u (t) (див. рис.1).

    Вхідна напруга складається з суми вихідної u (t) і падіння напруги на опору R — Ur (t).

    U (t) = Ur (t) + Uc (t); за законом Ома Ur (t) = i (t) R, i (t) = C (dUc / dt). З іншого боку Uc (t) = u (t), а i (t) — струм кола (в тому числі і на ємності С). Значить i = C (du / dt), Ur = RC (du / dt). Тоді баланс напруг в електричному ланцюзі можна переписати у вигляді: U = RC (du / dt) + u. Вирішуючи це рівняння щодо першої похідною, маємо:

                                                              u ‘(t) =- (1/RC) u (t) + (1/RC) U (t).

    Це ДУ першого порядку. Рішенням завдання буде його загальне рішення (неоднозначне). Для отримання однозначного рішення треба задавати початкові умови (крайові) у вигляді u (0) = u0.
  4. Приклад 2. Знайти рівняння гармонійного осцилятора.

    Рішення. Гармонійний осцилятор (коливальний контур) — основний елемент радіопередавальних і радіоприймальних пристроїв. Це замкнута електрична ланцюг, що містить паралельно з’єднані ємність С (конденсатор) і індуктивність L (котушка). Відомо, що струми і напруги на таких реактивних елементах пов’язані рівністю Iс = C (dUc / dt) = CU’c,

     Ul =- L (dIl / dt) =- LI’l. Т.к. в цьому завданні всі напруги і всі струми однакові, то остаточно

                                                           I»+ (1/LC) I = 0.

    Отримано ДУ другого порядку.