Як скласти характеристичне рівняння


 

Характеристичні рівняння, на основі яких обчислюються, насамперед, власні числа (значення), знайшли велике застосування в математиці, фізиці і техніці. Їх можна зустріти в рішеннях задач автоматичного регулювання, рішеннях систем диференціальних рівнянь і т. п.


Інструкція


  1. Як скласти характеристичне рівняння

                            До відповіді на питання слід підходити на основі розгляду найпростіших завдань, для вирішення яких можуть знадобитися характеристичні рівняння. Перш за все — це рішення нормальної однорідної системи однорідних диференціальних рівнянь (ЛОДУ). Її вигляд наведений на малюнку 1.

    Враховуючи позначення, наведені на рис. 1. Перепишіть систему в матричному вигляді.
    Отримайте Y ‘= AY.
        


  2. Як скласти характеристичне рівняння

                            Відомо, що фундаментальна система рішень (ФСР), розглянутої задачі, знаходиться у вигляді Y = exp [kx] B, де В — стовпець постійних. Тоді Y ‘= kY. Виникає система АY-kEY = 0 (E — одинична матриця). Або (А-kE) Y = 0. Потрібні знайти ненульові рішення, тому ця система однорідних рівнянь має виродження матрицю і, відповідно, визначник такої матриці дорівнює нулю. У розгорнутому вигляді даний визначник (див. рис. 2).

    На рис. 2 у вигляді визначника записано алгебраїчне рівняння n-го порядку і його рішення дозволяють скласти ФСР вихідної системи. Це рівняння названо характеристичним.


  3. Як скласти характеристичне рівняння

                            Тепер розгляньте ЛОДУ n-го порядку (див. рис. 3).

    Якщо ліву його частину позначити як лінійний диференціальний оператор L [y], то ЛОДУ перепишеться у вигляді L [y] = 0. Якщо шукати рішення ЛОДУ у вигляді y = exp (kx), то y ‘= kexp (kx), y» = (k ^ 2) exp (kx), …, y ^ (n-1) = (k ^ ( n-1)) exp (kx), y ^ n = (k ^ n) exp (kx) і, після скорочення на y = exp (kx), вийде рівняння: k ^ n + (a1) k ^ (n-1 ) + … + a (n-1) k + an = 0, яке також називається характеристичним.

  4. Для того щоб переконатися, що суть останнього характеристичного рівняння залишилася колишньою (тобто що це не якийсь інший об’єкт), перейдіть від ЛОДУ n-го порядку до нормальної системі ЛОДУ шляхом послідовних підстановок. Перша з них y1 = y, а далі
    y1 ‘= y2, y2’1 = y3, …, y (n-1)’ = yn, yn ‘=-an * y1-a (n-2) * yn-…-a1 * y (n-1) .
        
  5. Запишіть виниклу систему, складіть її характеристичне рівняння у вигляді визначника, розкрийте його та переконайтеся в тому, що вийшло характеристичне рівнянь для ЛОДУ n-го порядку. Заодно виникає і твердження про фундаментальному сенсі характеристичного рівняння.
  6. Перейдіть до загальної задачі пошуку власних чисел лінійних перетворень (вони можуть бути і диференціальними), що включає в себе стадію складання характеристичного рівняння. Число k називають власним значенням (числом) лінійного перетворення А, якщо існує вектор х такий, що Ax = kx.Поскольку кожному лінійному перетворенню однозначно може бути поставлена ​​його матриця, то завдання зводиться до складання характеристичного рівняння для деякої квадратної матриці. Робиться це в точності так як і в початковому прикладі для нормальних систем ЛОДУ. Просто замініть символи y на х, якщо після запису характеристичного рівняння підуть ще якісь дії. Якщо ж ні, то цього робити не варто. Просто беріть матрицю А (див. рис. 1) і записуйте відповідь у вигляді визначника (див. рис.2). Після розкриття визначника робота завершена.