Як скласти математичні моделі


 

Найпростіша математична модель — це модель гармонійного коливання Acos (ωt-φ). Тут все точно, іншими словами детерміністичного. Однак у фізиці і техніці такого не буває. Щоб провести вимірювання з найбільшою точністю, застосовують статистичне моделювання.


Інструкція

  1. Метод статистичного моделювання (статистичних випробувань) широко відомий як метод «Монте-Карло». Цей метод є окремим випадком математичного моделювання і заснований на створенні імовірнісних моделей випадкових явищ. Основа будь-якого випадкового явища — випадкова величина або випадковий процес. При цьому випадковий процес з ймовірнісної точки зору описуються як n-мірна випадкова величина. Повний розподіл усіх опис випадкової величини дає її щільність ймовірності. Знання цього закону розподілу дозволяє отримувати на ЕОМ цифрові моделі випадкових процесів, не проводячи з ними натурних експериментів. Все це можливо лише в дискретному вигляді і в дискретному часі, що необхідно враховувати при створенні статичних моделей.
  2. При статичному моделюванні слід відійти від розгляду конкретної фізичної природи явища, зосередившись лише на його імовірнісних характеристиках. Це дозволяє залучати для моделювання найпростіші явища, що мають однакові імовірнісні показники з модельований явищем. Наприклад, будь-які події, що наступають з імовірністю 0,5, можна моделювати простим киданням симетричної монети. Кожен окремий етап статистичного моделювання називають розіграшем. Так, для визначення оцінки математичного сподівання буде потрібно N розіграшів випадкової величини (СВ) X.
  3. Основним інструментом моделювання на ЕОМ є датчики випадкових чисел рівномірних на інтервалі (0, 1). Так, в середовищі Pascal виклик такого випадкового числа здійснюється за допомогою команди Random. На калькуляторах на цей випадок передбачена кнопка RND. Існують і таблиці таких випадкових чисел (за обсягом до 1000000). Значення рівномірної на (0, 1) СВ Z позначається z.
  4. Розгляньте методику моделювання довільній випадкової величини за допомогою нелінійного перетворення функції розподілу. Цей метод не має методичними похибками. Нехай закон розподілу безперервної СВ Х заданий щільністю ймовірності W (x). Звідси і почніть підготовку до моделювання і його здійснення.
        
  5. Знайдіть функцію розподілу Х — F (x). F (x) = ∫ (- ∞, x) W (s) ds. Візьміть Z = z і дозвольте рівняння z = F (x) відносно х (це завжди можливо, так як і Z і F (x) мають значення в межах від нуля до одиниці).
    Запишіть рішення x = F ^ (-1) (z). Це і є алгоритм моделювання. F ^ (-1) — зворотна F. Залишається лише послідовно отримувати з цього алгоритму значення xi цифрової моделі Х * CD X.
        
  6. Приклад. СВ задана щільністю ймовірності W (x) = λexp (-λx), x ≥ 0 (експоненційний розподіл). Знайти цифрову модель.
    Рішення.
    1 .. F (x) = ∫ (0, x) λ ∙ exp (-λs) ds = 1 — exp (-λx).
    2. z = 1 — exp (-λx), x = (-1 / λ) ∙ ln (1-z). Так як і z і 1-z мають значення з інтервалу (0, 1) і вони рівномірно, то (1-z) можна замінити на z.
    3. Процедура моделювання експоненційної СВ здійснюється за формулою x = (-1 / λ) ∙ lnz.
     Точніше xi = (-1 / λ) ln (zi).