Як скласти рівняння кола

Як скласти рівняння кола

Окружність — сукупність точок, що лежать на відстані R від заданої точки (центру кола). Рівнянням кола в декартових координатах називається таке рівняння, що для будь-якої точки, що лежить на колі, її координати (x, y) задовольняють цьому рівнянню, а для будь-якої точки, не лежить на колі — не задовольняють.

Інструкція

  1. Припустимо, що ваше завдання — скласти рівняння кола заданого радіуса R, центр якої знаходиться в початку координат. Коло, за визначенням — безліч точок, що знаходяться на заданій відстані від центру. Це відстань якраз і дорівнює радіусу R.
  2. Відстань від точки (x, y) до центру координат дорівнює довжині відрізка, що з’єднує її з точкою (0, 0). Цей відрізок разом з його проекціями на координатні осі складають прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють x0 і y0, а гіпотенуза, по теоремі Піфагора, дорівнює? (X ^ 2 + y ^ 2).
  3. Щоб отримати коло, вам потрібно рівняння, що визначає всі точки, для яких це відстань дорівнюватиме R. Таким чином:

    ? (X ^ 2 + y ^ 2) = R, а отже,

    x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2.
  4. Аналогічним способом складається рівняння кола радіусом R, центр якої знаходиться в точці (x0, y0). Відстань від довільної точки (x, y) до заданої точки (x0, y0) дорівнює? ((X — x0) ^ 2 + (y — y0) ^ 2).

    Отже, рівняння потрібної вам окружності буде виглядати так:

    (X — x0) ^ 2 + (y — y0) ^ 2 = R ^ 2.
  5. Вам може знадобитися також скласти рівняння кола з центром в точці координат, що проходить через задану точку (x0, y0). У цьому випадку радіус шуканої окружності не заданий в явному вигляді, і його доведеться обчислювати. Очевидно, він буде дорівнює відстані від точки (x0, y0) до початку координат, то є? (X0 ^ 2 + y0 ^ 2). Підставляючи це значення у вже виведене рівняння кола, ви отримаєте:

    x ^ 2 + y ^ 2 = x0 ^ 2 + y0 ^ 2.
  6. Якщо вам належить побудувати коло по виведеним формулам, то їх доведеться вирішувати щодо y. Навіть найпростіший з цих рівнянь при цьому перетворюється в:

    y = ±? (R ^ 2 — x ^ 2).

    Знак ± необхідний тут тому, що квадратний корінь числа завжди неотріцателен, а це означає, що без знака ± таке рівняння описує тільки верхню півколо.

    Щоб побудувати коло, зручніше скласти її параметричне рівняння, в якому обидві координати x і y залежать від параметра t.
  7. Відповідно до визначення тригонометричних функцій, якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 1, а один з кутів при гіпотенузі дорівнює?, То прилегла до нього катет дорівнює cos (?), А протилежні — sin (?). Таким чином, sin (?) ^ 2 + cos (?) ^ 2 = 1 для будь-якого?.
  8. Припустимо, вам дана окружність одиничного радіуса з центром в початку координат. Візьмемо будь-яку точку (x, y) цього кола і проведемо від неї відрізок до центру. Цей відрізок утворює кут з позитивною полуосью x, який може дорівнювати від 0 до 360 ° або від 0 до 2? радіан. Позначаючи цей кут t, ви отримаєте залежність:

    x = cos (t),

    y = sin (t).
  9. Цю формулу можна узагальнити на випадок кола радіуса R з центром у довільній точці (x0, y0):

    x = R * cos (t) + x0,

    y = R * sin (t) + y0.