Як скласти рівняння площини через точку і пряму


 

Будь площину може бути задана лінійним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0. Зворотно, кожне таке рівняння визначає площину. Щоб скласти рівняння площини, що проходить через точку і пряму, треба знати координати точки і рівняння прямої.



Вам знадобиться

— координати точки;
- Рівняння прямої.

Інструкція

  1. Рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (x1, y1, z1) та (x2, y2, z2), має вигляд: (x-x1) / (x2-x1) = (y-y1) / (y2-y1 ) = (z-z1) / (z2-z1). Відповідно, з рівняння (x-x0) / A = (y-y0) / B = (z-z0) / C легко можна виділити координати двох точок.
  2. З трьох точок площини можна скласти рівняння, однозначно задає площину. Нехай є три точки з координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3). Запишіть детермінант:

    (x-x1) (y-y1) (z-z1)
    (X2-x1) (y2-y1) (z2-z1)
    (X3-x1) (y3-y1) (z3-z1)

    Прирівняти визначник нулю. Це і буде рівняння площини. Його можна залишити і в такому вигляді, а можна розписати, розкривши детермінант:

    Робота копітка і, як правило, зайва, адже простіше згадати про властивості визначника, рівного нулю.


  3. Приклад. Складіть рівняння площини, якщо відомо, що вона проходить через точку M (2,3,4) і пряму (x-1) / 3 = y / 5 = (z-2) / 4 .
    Рішення. Спочатку треба перетворити рівняння прямої.
    (X-1) / (4-1) = (y-0) / (5-0) = (z-2) / (6-2). Звідси легко виділити дві точки, явно належать даній прямій. Це (1,0,2) і (4,5,6). Все, три точки є, можна складати рівняння площини.

    (x-1) (y-0) (z-2)
    (4-1) (5-0) (6-2)
    (2-1) (3-0) (4-2)

    Детермінант залишилося прирівняти нулю і спростити.


  4. Разом:

    (x-1) y (z-2)
    3 5 4
    1 3 2

    /> Відповідь. Искомое рівняння площини-2x-2y +4 z-6 = 0.
        



Корисні поради

Площина і пряму можна задати також канонічним, параметричним, векторно-параметричним і нормальним рівнянням. Пряма може бути задана також у відрізках і через кутовий коефіцієнт. Всі способи завдання можуть бути переведені з одного в інший.