Як скласти рівняння площини

Як скласти рівняння площини

Площина є одним з основних понять, що пов’язують планіметрії і стереометрії (розділи геометрії). Ця фігура також часто зустрічається в задачах з аналітичної геометрії. Щоб скласти рівняння площини, достатньо мати координати трьох її точок. Для другого основного способу складання рівняння площині необхідно вказати координати однієї точки і напрям нормального вектора.

Вам знадобиться

- Калькулятор.

Інструкція

  1. Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площину, то запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) і (z1, z2, z3) — координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином:

    │ x-x1 y-y1 z-z1 │

    │ x2-x1 y2-y1 z2-z1 │ = 0

    │ x3-x1 y3-y1 z3-z1 │
  2. Приклад: скласти рівняння площини, що проходить через три точки з координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6, 0; 12).

    Рішення: підставляючи координати точок у вищенаведену формулу, одержимо:

    │ x +1 y-4 z +1 │

    │ -12 -2 -9 │ = 0

    │ 7 -4 13 │

    В принципі, це і є рівняння шуканої площини. Однак якщо розкласти визначник по першому рядку, то вийде більш просте вираз:

    -62 * (Х +1) + 93 * (у-4) + 62 * (z +1) = 0.

    Розділивши обидві частини рівняння на 31 і привівши подібні, отримаємо:

    -2х +3 у +2 z-12 = 0.

    Відповідь: рівняння площини, що проходить через точки з координатами

    (-1; 4; -1), (-13; 2; -10) і (6, 0, 12)

    -2х +3 у +2 z-12 = 0.
  3. Якщо рівняння площини, що проходить через три точки, потрібно скласти без використання поняття «визначник» (молодші класи, тема — системи лінійних рівнянь), то скористайтеся наступним міркуванням.

    Рівняння площини в загальному вигляді має вигляд Ах + ВуСz + D = 0, причому одній площині відповідає безліч рівнянь з пропорційними коефіцієнтами. Для простоти обчислень параметр D зазвичай приймають рівним 1, якщо площина не проходить через початок координат (для площини, що проходить через початок координат, D = 0).
  4. Так як координати точок, що належать площині, повинні задовольняти вищенаведеного рівняння, то в підсумку виходить система з трьох лінійних рівнянь:

    -A +4 B-C +1 = 0

    -13A +2 B-10C +1 = 0

    6A +12 C +1 = 0,

    вирішивши яку і позбувшись дробів, отримаємо вищенаведене рівняння

    (-2х +3 у +2 z-12 = 0).
  5. Якщо задані координати однієї точки (х0, у0, z0) та координати вектора нормалі (А, В, С), то щоб скласти рівняння площини, просто запишіть рівняння:

    А (х-х0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0.

    Після приведення подібних це і буде рівнянням площини.
  6. Якщо потрібно вирішити завдання складання рівняння площини, що проходить через три точки, в загальному вигляді, то розкладіть рівняння площини, записаної через визначник, по першому рядку:

    (X-x1) * (у2-y1) * (z3-z1) — (x-x1) * (z2-z1) * (y3-y1) — (y-y1) * (x2-x1) * (z3 -z1) + (y-y1) * (z2-z1) * (x3-x1) + (z-z1) * (x2-x1) * (y3-y1) — (z-z1) * (y2-y1 ) * (x3-x1) = 0.

    Хоча цей вислів і більш громіздке, зате в ньому не використовується поняття визначника і воно більш зручно для складання програм.