Як скласти рівняння сторін трикутника

Як скласти рівняння сторін трикутника

Є безліч способів визначити трикутник. В аналітичній геометрії один з цих способів — задати координати трьох його вершин. Ці три точки визначають трикутник однозначно, але для повноти картини потрібно ще скласти рівняння сторін, що з’єднують вершини.

Інструкція

  1. Вам задані координати трьох точок. Позначимо їх як (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Передбачається, що ці точки є вершинами деякого трикутника. Завдання полягає в тому, щоб скласти рівняння його сторін — точніше рівняння тих прямих, на яких лежать ці сторони. Ці рівняння повинні мати вигляд:

    y = k1 * x + b1;

    y = k2 * x + b2;

    y = k3 * x + b3.

    Таким чином, ви маєте знайти кутові коефіцієнти k1, k2, k3 і зміщення b1, b2, b3.
  2. Переконайтеся, що всі точки різні між собою. Якщо якісь дві збігаються, то трикутник вироджується у відрізок.
  3. Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точки (x1, y1), (x2, y2). Якщо x1 = x2, то шукана пряма вертикальна і її рівняння x = x1. Якщо y1 = y2, то пряма горизонтальна і її рівняння y = y1. У загальному випадку ці координати не будуть дорівнюють один одному.
  4. Підставляючи координати (x1, y1), (x2, y2) в загальне рівняння прямої, ви отримаєте систему з двох лінійних рівнянь:

    k1 * x1 + b1 = y1;

    k1 * x2 + b1 = y2.

    Відніміть одне рівняння з іншого і вирішите отримане рівняння щодо k1:

    k1 * (x2 — x1) = y2 — y1, отже, k1 = (y2 — y1) / (x2 — x1).
  5. Підставляючи знайдене вираження у будь-яке з вихідних рівнянь, знайдіть вираз для b1:

    ((Y2 — y1) / (x2 — x1)) * x1 + b1 = y1;

    b1 = y1 — ((y2 — y1) / (x2 — x1)) * x1.

    Оскільки вже відомо, що x2 ≠ x1, можна спростити вираз, помноживши y1 на (x2 — x1) / (x2 — x1). Тоді для b1 ви отримаєте такий вираз:

    b1 = (x1 * y2 — x2 * y1) / (x2 — x1).
  6. Перевірте, чи не лежить третя з заданих точок на знайденій прямій. Для цього підставте значення (x3, y3) в виведене рівняння і подивіться, чи дотримується рівність. Якщо воно дотримується, отже, всі три точки лежать на одній прямій, і трикутник вироджується у відрізок.
  7. Тим же способом, що описаний вище, виведіть рівняння для прямих, що проходять через точки (x2, y2), (x3, y3) і (x1, y1), (x3, y3).
  8. Остаточний вигляд рівнянь для сторін трикутника, заданого координатами вершин, виглядає так:

    (1) y = ((y2 — y1) * x + (x1 * y2 — x2 * y1)) / (x2 — x1);

    (2) y = ((y3 — y2) * x + (x2 * y3 — x3 * y2)) / (x3 — x2);

    (3) y = ((y3 — y1) * x + (x1 * y3 — x3 * y1)) / (x3 — x1).