Є безліч способів визначити трикутник. В аналітичній геометрії один з цих способів — задати координати трьох його вершин. Ці три точки визначають трикутник однозначно, але для повноти картини потрібно ще скласти рівняння сторін, що з’єднують вершини.
Інструкція
- Вам задані координати трьох точок. Позначимо їх як (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Передбачається, що ці точки є вершинами деякого трикутника. Завдання полягає в тому, щоб скласти рівняння його сторін — точніше рівняння тих прямих, на яких лежать ці сторони. Ці рівняння повинні мати вигляд:
y = k1 * x + b1;
y = k2 * x + b2;
y = k3 * x + b3.
Таким чином, ви маєте знайти кутові коефіцієнти k1, k2, k3 і зміщення b1, b2, b3. - Переконайтеся, що всі точки різні між собою. Якщо якісь дві збігаються, то трикутник вироджується у відрізок.
- Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точки (x1, y1), (x2, y2). Якщо x1 = x2, то шукана пряма вертикальна і її рівняння x = x1. Якщо y1 = y2, то пряма горизонтальна і її рівняння y = y1. У загальному випадку ці координати не будуть дорівнюють один одному.
- Підставляючи координати (x1, y1), (x2, y2) в загальне рівняння прямої, ви отримаєте систему з двох лінійних рівнянь:
k1 * x1 + b1 = y1;
k1 * x2 + b1 = y2.
Відніміть одне рівняння з іншого і вирішите отримане рівняння щодо k1:
k1 * (x2 — x1) = y2 — y1, отже, k1 = (y2 — y1) / (x2 — x1). - Підставляючи знайдене вираження у будь-яке з вихідних рівнянь, знайдіть вираз для b1:
((Y2 — y1) / (x2 — x1)) * x1 + b1 = y1;
b1 = y1 — ((y2 — y1) / (x2 — x1)) * x1.
Оскільки вже відомо, що x2 ≠ x1, можна спростити вираз, помноживши y1 на (x2 — x1) / (x2 — x1). Тоді для b1 ви отримаєте такий вираз:
b1 = (x1 * y2 — x2 * y1) / (x2 — x1). - Перевірте, чи не лежить третя з заданих точок на знайденій прямій. Для цього підставте значення (x3, y3) в виведене рівняння і подивіться, чи дотримується рівність. Якщо воно дотримується, отже, всі три точки лежать на одній прямій, і трикутник вироджується у відрізок.
- Тим же способом, що описаний вище, виведіть рівняння для прямих, що проходять через точки (x2, y2), (x3, y3) і (x1, y1), (x3, y3).
- Остаточний вигляд рівнянь для сторін трикутника, заданого координатами вершин, виглядає так:
(1) y = ((y2 — y1) * x + (x1 * y2 — x2 * y1)) / (x2 — x1);
(2) y = ((y3 — y2) * x + (x2 * y3 — x3 * y2)) / (x3 — x2);
(3) y = ((y3 — y1) * x + (x1 * y3 — x3 * y1)) / (x3 — x1).
