Як у дробу позбутися ірраціональності в знаменнику


 

Існує кілька типів ірраціональності дробу в знаменнику. Вона пов’язана з присутністю в ньому алгебраїчного кореня однієї або різних ступенів. Щоб позбутися від ірраціональності, потрібно виконати певні математичні дії в залежності від ситуації.



Інструкція

  1. Перш ніж позбутися ірраціональності дробу в знаменнику, слід визначити її тип, і залежно від цього продовжувати рішення. І хоча будь-яка ірраціональність випливає з простої присутності коренів, різні їх комбінації і ступеня припускають різні алгоритми.
  2. Квадратний корінь в знаменнику, вираз виду a / √ b

    Введіть додатковий множник, рівний √ b. Щоб дріб не змінилася, множити потрібно і чисельник, і знаменник:

    a / √ b → (a • √ b) / b.

    Приклад 1: 10 / √ 3 → (10 • √ 3) / 3.


  3. Наявність під рискою дробу кореня дробової ступеня виду m / n, причому n> m

    Це вираз виглядає наступним чином:

    a / √ (b ^ m / n).


  4. Позбавтеся від подібної ірраціональності також шляхом введення множника, цього разу більш складного: b ^ (nm) / n, тобто з показника ступеня самого кореня потрібно відняти ступінь вираження під його знаком. Тоді в знаменнику залишиться лише перша ступінь:

    a / (b ^ m / n) → a • √ (b ^ (n-m) / n) / b.

    Приклад 2: 5 / (4 ^ 3/5) → 5 • √ (4 ^ 2/5) / 4 = 5 • √ (16 ^ 1/5) / 4.


  5. Сума квадратних коренів

    Помножте обидві складових дробу на аналогічну різниця. Тоді з ірраціонального складання коренів знаменник перетворюється в різниця виразів / чисел під знаком кореня:

    a / (√ b + √ c) → a • (√ b — √ c) / (b — c).

    Приклад 3: 9 / (√ 13 + √ 23) → 9 • (√ 13 — √ 23) / (13 — 23) = 9 • (√ 23 — √ 13) / 10.


  6. Сума / різниця кубічних коренів

    Виберіть у якості додаткового множника неповний квадрат різниці, якщо в знаменнику стоїть сума, і відповідно неповний квадрат суми для різниці коренів:

    a / (∛ b ± ∛ c) → a • (∛ b ² ∓ ∛ (b • c) + ∛ c ²) / ((∛ b ± ∛ c) • ∛ b ² ∓ ∛ (b • c) + ∛ c ²) →
    a • (∛ b ² ∓ ∛ (b • c) + ∛ c ²) / (b ± c).

    Приклад 4: 7 / (∛ 5 + ∛ 4) → 7 • (∛ 25 — ∛ 20 + ∛ 16) / 9.


  7. Якщо в задачі присутній і квадратний і кубічний корінь, тоді поділіть рішення на два етапи: послідовно виведіть з знаменника квадратний корінь, а потім кубічний. Робиться це по вже відомим вам методам: у першій дії потрібно вибрати множник різниці / суми коренів, у другому — неповний квадрат суми / різниці.