Як виділити квадрат двочлена з квадратного тричлена


 

Метод виділення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена є основою алгоритму розв’язання рівнянь другого ступеня, а також застосовується при спрощення громіздких алгебраїчних виразів.


Інструкція

  1. Метод виділення повного квадрата застосовується як для спрощення виразів, так і при вирішенні квадратного рівняння, яке, по суті, є тричленної другого ступеня від однієї змінної. В основі методу лежать деякі формули скороченого множення многочленів, а саме приватні випадки Біном Ньютона — квадрат суми і квадрат різниці:

    (а ∓ b) ² = а ² ∓ 2 • а • b + b ².

  2. Розглянемо застосування методу для вирішення квадратного рівняння виду а • х ² + b • х + с = 0. Щоб виділити квадрат двочлена з квадратного тричлена, розділіть обидві частини рівняння на коефіцієнт при найбільшою мірою, тобто при х ²:

    а • х ² + b • х + с = 0 / а → х ² + (b / а) • х + с / а = 0.

  3. Уявіть отриманий вираз у вигляді:

    (х ² + 2 • (b/2а) • х + (b/2а) ²) — (b/2а) ² + с / а = 0, де одночлен (b / а) • х перетворений в подвоєне твір елементів b/2а і х.

  4. Поверніть перших дужках в квадрат суми:

    (х + b/2а) ² — ((b/2а) ² — с / а) = 0.

  5. Тепер можливі дві ситуації знаходження рішення: якщо (b/2а) ² = с / а, то рівняння має єдиний корінь, а саме х = -b/2а. У другому випадку, коли (b/2а) ² = с / а, рішень буде наступним:

    (х + b/2а) ² = ((b/2а) ² — с / а) → х = -b/2а + √ ((b/2а) ² — с / а) = (-b + √ (b ² — 4 • а • с)) / (2 • а).

  6. Двоїстість рішення випливає з властивості квадратного кореня, результат обчислення якого може бути як позитивним, так і негативним, тоді як модуль залишається незмінним. Таким чином, виходить два значення змінної:

    х1, 2 = (-b ± √ (b ² — 4 • а • с)) / (2 • а).

  7. Так, використовуючи метод виділення повного квадрата, ми прийшли до поняття дискриминанта. Очевидно, що він може бути або нулем, або позитивним числом. При негативному дискримінант рівняння не має рішень.
      
  8. Приклад: виділити квадрат двочлена у виразі х ² — 16 • х + 72.
  9. Рішення

    Перепишіть тричлен у вигляді х ² — 2 • 8 • х + 72, звідки випливає, що складовими повного квадрата двочлена є 8 і х. Отже, для його завершення потрібно ще число 8 ² = 64, яке можна відняти з третього члена 72: 72 — 64 = 8. Тоді вихідне вираз перетворюється в:

    х ² — 16 • х + 72 → (х — 8) ² + 8.

  10. Спробуйте вирішити це рівняння:

    (х-8) ² = -8