Як віднімати коріння


 

Це питання стосується не до безпосереднього вирахуванню коренів (обчислити різницю двох чисел можна і не вдаючись до послуг інтернету, та й замість «віднімання» записують «різниця»), а обчисленню вирахування кореня, більш точно в корені. Тема відноситься до теорії функції комплексних змінних (ТФКЗ).



Інструкція

  1. < br /> Як віднімати коріння

                  Якщо ФКП f (z) є аналітичною в кільці 0

  2. Якщо всі коефіцієнти головної частини ряду Лорана дорівнюють нулю, то особлива точка z0 називається усуненою особливою точкою функції. Розкладання в ряд Лорана в цьому випадку має вигляд (рис. 1b). Якщо головна частина ряду Лорана містить кінцеве число k доданків, то особлива точка z0 називається полюсом k-го порядку функції f (z). Якщо головна частина ряду Лорана містить нескінченне число членів, то особлива точка називається істотною особливою точкою функції f (z).
      
  3. Приклад 1. Функція w = (z-2) / [((z-3) ^ 2) z ((z +1) ^ 3)] має особливі точки: z = 3 — полюс другого порядку, z = 0 полюс першого порядку, z = -1 — полюс третього порядку. Зверніть увагу, що всі полюси знайдені шляхом знаходження коренів рівняння ((z-3) ^ 2) z ((z +1) ^ 3) = 0.
  4. < br /> Як віднімати коріння

                  Вирахуванням аналітичної функції f (z) в виколоти околиці точки z0 називають коефіцієнт с (-1) в розкладанні функції в ряд Лорана. Позначається res [f (z), z0]. Враховуючи формулу обчислення коефіцієнтів ряду Лорана, зокрема, коефіцієнта с (-1) виходить (див. рис. 2). Тут γ — деякий кусочно-гладкий замкнутий контур, який обмежує однозв’язна область, яка містить точку z0 (наприклад, окружність малого радіуса з центром в точці z0), і що лежить в кільці 0

  5. < br /> Як віднімати коріння

                  Отже, для знаходження вирахування функції в ізольованій особливій точці слід або розкласти функцію в ряд Лорана і визначити з цього розкладу коефіцієнт с (-1), або обчислити інтеграл малюнка 2. Існують і інші способи обчислення відрахувань. Так, якщо точка z0 є полюсом порядку k функції f (z), то відрахування в цій точці обчислюється за формулою (див. рис.3).
  6. Якщо функція f (z) = φ (z) / ψ (z), де φ (z0) ≠ 0, а ψ (z) має простий корінь (кратності один) в z0, то ψ ‘(z0) ≠ 0 і z0 є простим полюсом f (z). Тоді res [f (z), z0] = φ (z0) / ψ ‘(z0). З цього правила досить наочно випливає висновок. Перше, що робиться при знаходженні особливих точок — це визначення коренів знаменника ψ (z).