Як вимірювати параметри


 

У тих випадках, коли мова йде про вимірювання, головне — отримання величини, що володіє мінімальною похибкою. З математичної точки зору — певного параметра, що має максимальну точність. Для цього використовують критерії вибору оцінки.


Інструкція

  1. Пояснення наведені на основі оптимального вимірювання амплітуди радіоімпульсу, яка добре вкладається в рамки математичного підходу до вирішення задачі і розглядалася в статистичній радіотехніці.
  2. Всі відомості про вимірюваному параметрі містяться в його апостеріорної щільності ймовірності, яка пропорційна функції правдоподібності, помноженої на апріорну щільність. Якщо апріорна щільність ймовірності невідома, то замість апостеріорної щільності використовується функція правдоподібності.
  3. Припустімо, що на прийом прийшла реалізація виду x (t) = S (t, λ) + n (t), де S (t, λ) детермінована функція часу t, а λ параметр. n (t) гауссовский білий шум з нульовим середнім і відомими характеристиками. На приймальному боці λ сприймається як випадкова величина. Рівняння правдоподібності для визначення оцінки параметрів сигналу по методу максимуму функціонала правдоподібності має вигляд

    d / dλ • {∫ (0, T) • [x (t) - S (t, λ)] ^ 2 • dt} = 0. (1)

    Тут інтеграл, береться від нуля до T (T — час спостереження).
      

  4. Складіть рівняння правдоподібності (1), поклавши тривалість радіоімпульсу рівною часу спостереження T, а S (t, λ) = λcosωt (радіоімпульс).

    d / dλ • {∫ (0, T) [x (t) - λcosωt)] ^ 2 • dt]} = 0.

    Знайдіть корені цього рівняння і прийміть їх за оціночні значення амплітуди:

    d / dλ • {∫ (0, T) [x (t) - λ • cosωt)] ^ 2dt} = -2 • {∫ (0, T) • [x (t) - λ • cosωt) ] • cosωt • dt]} = -2 • ∫ (0, T) [x (t) • cosωt)] dt +2 λ • ∫ (0, T) (cosωt) ^ 2 • dt = 0.
      

  5. < br /> Як вимірювати параметри

                  Тоді оцінка λ * = (1/E1) • ∫ (0, T) [x (t) • cosωt)] • dt, де Е1 = ∫ (0, T) (cosωt) ^ 2 • dt — енергія радіоімпульсу з одиничною амплітудою. На підставі цього виразу побудуйте структурну схему оптимального (по максимуму правдоподібності) вимірювача амплітуди радіоімпульсу (див. рис. 1).
  6. Для того щоб остаточно переконатися в правильності вибору оцінки, перевірте її на незміщеності. Для цього знайдіть її математичне сподівання і переконайтеся, що збігається з істинним значенням параметра.

    M [λ *] = M [* = (1/E1) • ∫ (0, T) [x (t) • cosωt)] dt = (1/E1) • M {∫ (0, T) [λ • cosωt + n (t)] cosωt • dt} == (1/E1) • ∫ (0, T) [λ • (cosωt) ^ 2 +0] dt = λ.

    Оцінка незміщена.