Як виразити через базис вектор


 

Будь впорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору. Будь вектор простору можна розкласти по базисних векторах, причому єдиним чином. Тому при відповіді на поставлене запитання спочатку слід обгрунтувати лінійну незалежність можливого базису і лише після цього шукати розкладання в ньому будь-якого вектора.



Інструкція

  1. Обгрунтувати лінійну незалежність системи векторів дуже просто. Складіть визначник, рядки якого складаються з їх «координат», і обчисліть його. Якщо цей визначник відмінний від нуля, то і вектори лінійно незалежні. Не забувайте, що розмірність визначника може бути досить великою, і знаходити його доведеться розкладанням по рядку (стовпцю). Тому застосовуйте попередні лінійні перетворення (краще тільки рядків). Оптимальний випадок — це доведення визначника до трикутного виду.

  2. Як виразити через базис вектор

                  Наприклад, для системи векторів е1 = (1, 2, 3), e2 = (2, 3, 2), e3 (4, 8, 6) відповідний визначник і його перетворення представлені на малюнку 1. Тут на першому кроці перший рядок множилася на два і віднімалася з другої. Потім вона множилася вона на чотири і віднімалася з третьої. На другому кроці другий рядок складалася з третього. Так як відповідь відмінний від нуля, то задана система векторів лінійно незалежна.
  3. Тепер слід перейти до задачі розкладання вектора по базису в R ^ n. Нехай базисні вектори
    e1 = (e1, e21, …, en1), e2 = (e21, e22, …, en2), …, en = (en1, en2, …, enn), а вектор x задано координатами в будь-якому іншому базисі того ж простору R ^ nx = (x1, x2, …, xn). При цьому його можна представити у вигляді х = a1e1 + a2e2 + … + anen, де (a1, a2, …, an) коефіцієнти шуканого розкладу х по базису (e1, e2, …, en).
      

  4. Як виразити через базис вектор

                  Останню лінійну комбінацію перепишіть докладніше, підставляючи замість векторів відповідні набори чисел: (x1, x2, …, xn) = a1 (e11, e12, .., e1n) + a2 (e21, e22, .., e2n) + … + an (en1, en2, .., enn). Отримане перепишіть у вигляді системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (a1, a2, …, an) (див. рис. 2). Так як вектори базису лінійно незалежні, то система має єдине рішення (a1, a2, …, an). Розкладання вектора по заданому базису знайдено.