При вирішенні систем двох рівнянь з двома змінними зазвичай виникає необхідність спростити вихідну систему і тим самим привести її до більш зручного для вирішення увазі. З цією метою часто використовується прийом вираження однієї змінної через іншу.
Інструкція
- Перетворіть одне з рівнянь системи до виду, в якому y виражено через x або, навпаки, x через y. Підставте отриманий вираз замість y (або замість x) в друге рівняння. Ви отримаєте рівняння з однією змінною.
- Для вирішення деяких систем рівнянь потрібно висловити обидві змінні x і y через одну або дві нові змінні. Для цього введіть одну змінну m тільки для одного рівняння або дві змінні m і n для обох рівнянь.
- Приклад I. Висловіть одну змінну через іншу в системі рівнянь:
│ x-2y = 1,
│ x ² + xy-y ² = 11.Перетворіть перше рівняння даної системи: перенесіть одночлен (-2y) в праву частину рівності, помінявши знак. Звідси отримаєте: x = 1 +2 y.
- Підставте в рівняння x ² + xy-y ² = 11 замість x вираз 1 +2 y. Система рівнянь прийме вигляд:
│ (1 +2 y) ² + (1 +2 y) y-y ² = 11,
│ x = 1 +2 y.Отримана система рівносильна вихідної. Ви висловили змінну x в даній системі рівнянь через y.
- Приклад II. Висловіть одну змінну через іншу в системі рівнянь:
│ x ²-y ² = 5,
│ xy = 6.Перетворіть друге рівняння системи: обидві частини рівняння xy = 6 розділіть на x ≠ 0. Звідси: y = 6 / x.
- Підставте отриманий вираз в рівняння x ²-y ² = 5. Ви отримаєте систему:
│ x ² — (6 / x) ² = 5,
│ y = 6 / x.Остання система рівносильна вихідної. Ви висловили змінну y в даній системі рівнянь через x.
- Приклад III. Висловіть змінні y і z через нові змінні m і n:
│ 2 / (y + z) +9 / (2y + z) = 2;
│ 4 / (y + z) = 12 / (2y + z) -1.Нехай 1 / (y + z) = m і 1 / (2y + z) = n. Тоді система рівнянь буде виглядати наступним чином:
│ 2 / m +9 / n = 2,
│ 4 / m = 12/n-1.Ви висловили змінні y і z у вихідній системі рівнянь через нові змінні m і n.
Зверніть увагу
Прийом введення нової змінної використовується при вирішенні деяких квадратних рівнянь. Наприклад, в рівнянні (x ² +1) / x + x / (x ² +1) = -2,5 висловіть змінну x через нову змінну y. Нехай y = (x ² +1) / x, тоді вихідне рівняння прийме вигляд: y +1 / y = -2,5.
Ви висловили змінну x в даному рівнянні через y.
