Як вирішити диференціальне рівняння першого порядку


 

Диференціальне рівняння першого порядку відноситься до найпростіших диференціальним рівнянням. Вони найбільш легко піддаються дослідженню та вирішенню, а в кінцевому підсумку їх завжди можна проінтегрувати.



Інструкція

  1. Рішення диференціального рівняння першого порядку розглянемо на прикладі xy ‘= y. Ви бачите, що воно містить: х — незалежну змінну; у — залежну змінну, функцію; y ‘- першу похідну функції.

    Не лякайтеся, якщо в деяких випадках в рівнянні першого порядку не буде «х» або (і) «у». Головне, щоб в диференціальному рівнянні обов’язково була y ‘(перша похідна), і були відсутні y», y»’ (похідні вищих порядків).
        


  2. Уявіть похідну в наступному вигляді: y ‘= dydx (формула знайома зі шкільної програми). Ваша похідна має виглядати наступним чином: x * dydx = y, де dy, dx — диференціали.
        
  3. Тепер розділіть змінні. Наприклад, в лівій частині залиште тільки змінні містять y, а в правій — змінні містять x. У вас повинно вийти наступне: dyy = dxx.
        
  4. Проінтегріруйте отримане в попередніх маніпуляціях диференціальне рівняння. Ось так: dyy = dxx
        
  5. Тепер обчисліть наявні інтеграли. У цьому простому випадку вони табличні. Ви повинні отримати наступний результат: lny = lnx + C
    Якщо ваша відповідь відрізняється від представленого тут, перевірте всі записи. Десь допущена помилка і її потрібно виправити.
  6. Після того, як обчислені інтеграли, рівняння можна вважати вирішеним. Але отриману відповідь представлений в неявному вигляді. На цьому кроці ви отримали загальний інтеграл. lny = lnx + C
    Тепер уявіть відповідь в явному вигляді або, іншими словами, знайти спільне рішення. Перепишіть отриманий на попередньому кроці відповідь в наступному вигляді: lny = lnx + C, скористайтеся одним із властивостей логарифмів: lna + lnb = lnab для правої частини рівняння (lnx + C) і звідси висловіть у. Ви повинні отримати запис: lny = lnCx
  7. Тепер приберіть логарифми та модулі з обох частин: y = Cx, С — cons
    Ви маєте функцію, представлену в явному вигляді. Це і називається загальним рішенням для диференціального рівняння першого порядку xy ‘= y.