Як вирішити математичні рівняння


 

Вирішити рівняння — означає знайти всі невідомі, при яких воно звертається в правильне числове рівність. Щоб вирішити математичне рівняння з модулями, треба знати визначення модуля. Знак модуля можна просто прибрати, якщо подмодульное вираз позитивно. Якщо вираз під модулем негативно, він розкривається зі знаком «мінус». Це означає, що модуль — завжди позитивна величина.



Інструкція

  1. Спробуйте позбутися модулів в рівнянні, грунтуючись безпосередньо на визначенні модуля. Розгляньте два випадки, порівнюючи подмодульное вираз з нулем. Кожен з варіантів уявіть у вигляді системи, яка містить умову, виражене нерівністю, і рівняння з розкритим відповідно умові модулем. Загальне рішення оформите у вигляді сукупності отриманих систем.
  2. Нехай, наприклад, дано рівняння | f (x) | — k (x) = 0. Щоб розкрити модуль | f (x) |, треба розглянути два випадки: f (x) ≥ 0 і f (x) ≤ 0. При виконанні першої умови | f (x) | = f (x), дотримання же другої умови дає | f (x) | =-f (x). Отже, виходить сукупність двох систем:

    f (x) ≥ 0,
    f (x) — k (x) = 0;

    f (x) ≤ 0,
    - F (x) — k (x) = 0.

    Вирішивши обидві ці системи і об’єднавши отримані результати, отримаєте відповідь. До речі, рішення систем можуть перетинатися, це треба враховувати при запису відповіді, щоб не дублювати значення x, що задовольняють рівнянню.


  3. Теоретично, використовуючи зазначений вище спосіб, можна вирішити будь-яке рівняння з модулями. Але якщо під модулями записані прості вирази, доцільно вирішувати рівняння коротшим шляхом. Намалюйте числову пряму. Позначте на ній всі «нулі» подмодульних виразів. Для знаходження «нулів» кожне з подмодульних виразів прирівняти нулю і для кожного з вийшов рівнянь знайдіть x.
  4. Так ви отримаєте числову пряму з зазначеними на ній точками. Вони розбивають її на кілька відрізків і променів, на кожному з яких всі вирази, які стоять під знаком модуля, постійні по знаку. Тепер, визначаючи цей знак для кожного з подмодульних виразів, треба розкрити модулі.
  5. Щоб визначити знак вираження, підставте в нього замість x-яку точку із заданого проміжку, не збігається ні з одним з його кінців. Далі залишилося вирішити вийшло рівняння і вибрати ті значення x, що задовольняють розглядався проміжку.

  6. Точка x = 5 на числовий прямий

                            Приклад: | x — 5 | = 10.

    Подмодульное вираз звертається в нуль при x = 5. На числової прямої можна дугами відзначити промені (- ∞; 5] і [5; + ∞). На лівому промені модуль розкривається зі знаком «мінус», на правому — зі знаком «плюс». Таким чином,

    x ≤ 5,
    - X + 5 = 10;

    x ≥ 5,
    x — 5 = 10.


  7. Рівняння-x + 5 = 10 має своїм рішенням x = -5. Це число підпадає під проміжок x ≤ 5, тому x = -5 піде у відповідь. Рішення рівняння x — 5 = 10: x = 15. Число 15 задовольняє нерівності x ≥ 5, тому x = 15 теж йде у відповідь. Наприкінці рішення необхідно записати відповідь: x = -5, x = 15.