Як вирішити невласний інтеграл


 

Інтегральне числення являє собою досить велику область математики, його методи розв’язання використовуються і в інших дисциплінах, наприклад, фізики. Невласні інтеграли є досить складним поняттям, при вивченні якого слід спиратися на хороші базові знання з цієї теми.



Інструкція

  1. Невласний інтеграл — це певний інтеграл з межами інтегрування, один або обидва з яких є нескінченними. Інтеграл з нескінченним верхньою межею зустрічається найчастіше. Слід врахувати, що рішення існує далеко не завжди, при цьому підінтегральна функція повинна бути безперервною на інтервалі [a; + ∞).
      
  2. На графіку такої невласний інтеграл виглядає як площа криволінійної фігури, не обмеженої з правого боку. Може виникнути думка, що в такому випадку він завжди буде дорівнює нескінченності, однак це вірно тільки якщо інтеграл розходиться. Як це не парадоксально, але за умови збіжності він дорівнює кінцевому числу. Крім того, це число може бути негативним.
      
  3. Приклад: вирішите невласний інтеграл ∫ dx / x ² на інтервалі [1; + ∞).

    Рішення.
    Креслення виконувати необов'язково. Очевидно, що функція 1 / x ² неперервна в межах інтегрування. Знайдіть рішення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, яка в разі невласного інтеграла трохи видозмінюється:
    ∫ f (x) dx = lim (F (b) - F (a)) при b → ∞.
    ∫ dx / x ² =-lim (1 / x) =-lim (1 / b -1 / 1) = [1 / b = 0] = — (0 — 1) = 1.


  4. Алгоритм рішення невласних інтегралів з нижнім або двома нескінченним межами інтегрування той же. Наприклад, вирішите ∫ dx / (x ² + 1) на інтервалі (- ∞; + ∞).

    Рішення.
    Підінтегральна функція є безперервною на всьому своєму протязі, тому згідно з правилом розкладання інтеграл можна представити у вигляді суми двох інтегралів на інтервалах, відповідно, (- ∞; 0] і [0; + ∞). Інтеграл сходиться, якщо зійдуться обидві його частини. Перевірте:
    ∫ (- ∞; 0] dx / (x ² + 1) = lim_ (a → — ∞) artctg x = lim (0 — (arctg a)) = [artg a →-π / 2] = 0 — (-π / 2) = π / 2;
    ∫ [0; + ∞) dx / (x ² + 1) = lim_ (b → + ∞) artctg x = lim (arctg b) = [artg b → π / 2] = π / 2;

  5. Обидві половинки інтеграла сходяться, отже, сходиться і він:
    ∫ (- ∞; + ∞) dx / (x ² + 1) = π / 2 + π / 2 = π.

    Примітка: якщо хоча б одна з частин розійдеться, то інтеграл не має рішення.