Як вирішити рівняння з логарифмом

Як вирішити рівняння з логарифмом

Логарифмічні рівняння — це рівняння, що містять невідому під знаком логарифма та / або в його підставі. Найпростішими логарифмічними рівняннями є рівняння виду logaX = b, або рівняння, які можна звести до цього виду. Розглянемо як різні види рівняння можна звести до даного типу і вирішити.

Інструкція

  1. З визначення логарифма випливає, що для того щоб вирішити рівняння logaX = b необхідно зробити рівносильний перехід a ^ b = x, якщо a> 0 і a не дорівнює 1, тобто 7 = logX по підставі 2, то x = 2 ^ 5, x = 32.
  2. При вирішенні логарифмічних рівнянь часто переходять до нерівносильні переходу, тому необхідна перевірка отриманих коренів, шляхом підстановки в дане рівняння. Наприклад, дано рівняння log (5 +2 x) по підставі 0,8 = 1, шляхом нерівносильні переходу, виходить log (5 +2 x) по підставі 0,8 = log0, 8 по підставі 0,8, можна опустити знак логарифма, тоді виходить рівняння 5 +2 х = 0,8, вирішуючи дане рівняння отримуємо х =- 2,1. При перевірки х =- 2,1 5 +2 х> 0, що відповідає властивостям логарифмічної функції (область визначення логарифмічної області позитивна), отже, х =- 2,1 — корінь рівняння.
  3. Якщо невідоме знаходиться в основі логарифма, то подібне рівняння вирішується тими ж способами. Наприклад, дано рівняння, log9 по підставі (x-2) = 2. Діючи також як і в попередніх прикладах, отримуємо (х-2) ^ 2 = 9, x ^ 2-4x +4 = 9, x ^ 2-4x-5 = 0, вирішуючи це рівняння X1 =- 1, X2 = 5 . Так як підстава функції повинно бути більше 0 і не дорівнює 1, то залишається тільки корінь X2 = 5.
  4. Найчастіше при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно застосовувати властивості логарифмів:

    1) logaXY = loda [X] + loda [Y]

       logbX / Y = loda [X]-loda [Y]

    2) logfX ^ 2n = 2nloga [X] (2n — парне число)

       logfX ^ (2n +1) = (2n +1) logaX (2n +1 — непарне число)

    3) logX з підставу a ^ 2n = (1/2n) log [a] X

       logX з підставу a ^ (2n +1) = (1/2n +1) logaX

    4) logaB = 1/logbA, b не дорівнює 1

    5) logaB = logcB / logcA, c НЕ дорівнює 1

    6) a ^ logaX = X, X> 0

    7) a ^ logbC = clogbA

    Використовуючи дані властивості, ви можете звести логарифмічне рівняння до більш простого типу, а далі вирішувати вже вищевказаними способами.

Зверніть увагу

Логарифм з основою 10, називається десятковим і позначається lgX.

Логарифм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.