Як вирішити систему з трьох рівнянь з трьома невідомими

Як вирішити систему з трьох рівнянь з трьома невідомими

Система з трьох рівнянь з трьома невідомими може і не мати рішень, незважаючи на достатню кількість рівнянь. Можна намагатися вирішити її за допомогою методу підстановки або за допомогою методу Крамера. Метод Крамера крім вирішення системи дозволяє оцінити, чи є система вирішуваною, до того, як відшукати значення невідомих.

Інструкція

  1. Метод підстановки полягає в послідовному вираженні однієї невідомої через два інших і підстановці отриманого результату в рівняння системи. Нехай дана система з трьох рівнянь в загальному вигляді:

    a1x + b1y + c1z = d1

    a2x + b2y + c2z = d2

    a3x + b3y + c3z = d3

    Висловіть з першого рівняння x: x = (d1 — b1y — c1z) / a1 — і підставте в друге і третє рівняння, потім з другого рівняння висловіть y і підставте в третє. Ви отримаєте лінійний вираз для z через коефіцієнти рівнянь системи. Тепер ідіть «назад»: підставте z на друге рівняння і знайдіть y, а потім z і y підставте в перше і знайдіть x. Процес в загальному вигляді відображений на малюнку до знаходження z. Далі запис в загальному вигляді буде дуже громіздкою, на практиці, підставивши числа, ви досить легко знайдете всі три невідомі.
  2. Метод Крамера полягає в складанні матриці системи і обчисленні визначника цієї матриці, а також ще трьох допоміжних матриць. Матриця системи складається з коефіцієнтів при невідомих членах рівнянь. Стовпець, що містить числа, що стоять в правих частинах рівнянь, називається стовпцем правих частин. У матриці системи він не використовується, але використовується при вирішенні системи.
  3. Нехай, як і раніше, дана система з трьох рівнянь в загальному вигляді:

    a1x + b1y + c1z = d1

    a2x + b2y + c2z = d2

    a3x + b3y + c3z = d3

    Тоді матрицею цієї системи рівнянь буде наступна матриця:

    | A1 b1 c1 |

    | A2 b2 c2 |

    | A3 b3 c3 |

    Перш за все знайдіть визначник матриці системи. Формула знаходження визначника: | A | = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 — a3b2c1 — a2b1c3 — a1b3с2. Якщо він не дорівнює нулю, то система розв’язана і має єдине рішення. Тепер потрібно знайти визначники ще трьох матриць, які виходять з матриці системи шляхом підставляння стовпця правих частин замість першого стовпця (цю матрицю позначимо Ax), замість другого (Ay) і третього (Az). Обчисліть їх визначники. Тоді x = | Ax | / | A |, y = | Ay | / | A |, z = | Az | / | A |.