Як вирішити систему з трьох рівнянь

Як вирішити систему з трьох рівнянь

Всі системи з трьох рівнянь з трьома невідомими вирішуються одним способом — шляхом послідовної заміни невідомого виразом, що містить у собі інші два невідомих, скорочуючи таким чином їх число.

Інструкція

  1. Щоб розібратися, як працює алгоритм заміни невідомих, як приклад візьмемо таку систему рівнянь з трьома невідомими x, y і z:

    2x +2 y-4z =- 12

    4x-2y +6 z = 36

    6x-4y-2z =- 16
  2. У першому рівнянні перенесіть всі складові крім х, помножене на 2, в праву частину і розділіть на множник, що стоїть перед x. Таким чином ви отримаєте значення х, виражене через дві інші невідомі z і y.

    х =- 6-y +2 z.
  3. Тепер працюйте з другим і третім рівняннями. Замініть всі х на отриманий вираз, що містить тільки невідомі z і y.

    4 * (-6-y +2 z)-2y +6 z = 36

    6 * (-6-y +2 z)-4y-2z =- 16
  4. Розкрийте дужки, враховуючи знаки перед множниками, виконайте дії додавання і віднімання в рівняннях. Перенесіть складові без невідомих (числа) в праву частину рівняння. Ви отримаєте систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

    -6y +14 z = 60

    -10y +10 z = 20.
  5. Тепер виділіть невідоме y, щоб його можна було виразити через z. Не обов’язково робити це в першому рівнянні. На прикладі видно, що множники у y і z збіглися за винятком знака, тому працюйте з цим рівнянням, так буде зручніше. Перенесіть z з множником в праву частину рівняння і розділіть обидві частини на множник y -10.

    y =- 2 + z.
  6. Підставте отриманий вираз y в рівняння, яке не було задіяно, розкрийте дужки, враховуючи знак множника, зробите дії додавання і віднімання, і ви отримаєте:

    -6 * (-2 + Z) +14 z = 60

    12-6z +14 z = 60

    8z = 48

    z = 6.
  7. Тепер поверніться до рівняння, де y визначений за допомогою z, і поставте значення z у рівняння. У вас вийде:

    y =- 2 + z =- 2 +6 = 4
  8. Згадайте найперше рівняння, в якому x виражений через z y. Підставте в нього їх числові значення. У вас вийде:

    x =- 6-y +2 z =- 6-4 +12 = 2

    Таким чином, всі невідомі знайдені. Точно таким способом вирішуються нелінійні рівняння, де множниками виступають математичні функції.