Як вирішити завдання з косинусами


 

Найчастіше завдання з косинусами потрібно вирішувати в геометрії. Якщо це поняття використовується в інших науках, наприклад, у фізиці, то застосовуються геометричні методи. Звичайно застосовується теорема косинусів або співвідношення в прямокутному трикутнику.



Вам знадобиться

— знання теореми Піфагора, теореми косинусів;
- Тригонометричні тотожності;
- Калькулятор чи таблиці Брадіса.

Інструкція

  1. За допомогою косинуса можна знайти будь-яку із сторін прямокутного трикутника. Для цього використовуйте математичне співвідношення, в якому говориться, що косинусом гострого кута трикутника є ставлення прилежащего катета до гіпотенузи. Тому, знаючи гострий кут прямокутного трикутника, знайдіть його боку.
  2. Наприклад, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а гострий кут при ній 60 º. Знайдіть прилегла до гострого кута катет. Для цього скористайтеся визначенням косинуса cos (α) = b / a, де a — гіпотенуза прямокутного трикутника, b — катет, прилеглий до кута α. Тоді його довжина дорівнюватиме b = a ∙ cos (α). Підставте значення b = 5 ∙ cos (60 º) = 5 ∙ 0,5 = 2,5 см.
  3. Третю сторону с, яка є другим катетом, знайдіть, скориставшись теоремою Піфагора c = √ (5 ² -2,5 ²) ≈ 4,33 см.
  4. За допомогою теореми косинусів можна знаходити сторони трикутників, якщо відомо дві сторони і кут між ними. Для того щоб знайти третю сторону, знайдіть суму квадратів двох відомих сторін, відніміть від неї їх подвоєне твір, помножене на косинус кута між ними. З отриманого результату витягніть квадратний корінь.
  5. Приклад

    У трикутнику дві сторони рівні a = 12 см, b = 9 см. Кут між ними становить 45 º. Знайдіть третю сторону c. Для знаходження третьої сторони застосуєте теорему косинусів c = √ (a ² + b ²-a ∙ b ∙ cos (α)). Зробивши підстановку отримаєте, c = √ (12 ² +9 ² -12 ∙ 9 ∙ cos (45 º)) ≈ 12,2 см.
        


  6. При вирішенні задач з косинусами, використовуйте тотожності, що дозволяють перейти від цієї тригонометричної функції до інших, і навпаки. Основне тригонометричне тотожність: cos ² (α) + sin ² (α) = 1; співвідношення з тангенсом і котангенс: tg (α) = sin (α) / cos (α), ctg (α) = cos (α) / sin (α ) і т.д. Для знаходження значення косинусів кутів використовуйте спеціальний калькулятор або таблицю Брадиса.