Як вирішувати арифметичні прогресії

Як вирішувати арифметичні прогресії

Арифметична прогресія — це така послідовність, у якій кожен її член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом d (кроком або різницею арифметичної прогресії). Найчастіше в задачах з арифметичними прогресіями ставляться такі питання, як перебування першого члена арифметичної прогресії, n-го члена, знаходження різниці арифметичній прогресії, суми всіх членів арифметичної прогресії. Розглянемо кожен із цих питань більш детально.

Вам знадобиться

Уміння виконувати основні математичні дії.

Інструкція

  1. З визначення арифметичній прогресії слід наступна зв’язок сусідніх членів арифметичної прогресії — An +1 = An + d, наприклад, A5 = 6, а d = 2, то A6 = A5 + d = 6 +2 = 8.
  2. Якщо відомий перший член (A1) і різницю (d) арифметичної прогресії, то можна знайти будь-який її член, використовую формулу n-го члена арифметичної прогресії (An): An = A1 + d (n-1). Наприклад, нехай A1 = 2, d = 5. Знайдемо, A5 і A10. A5 = A1 + d (5-1) = 2 +5 (5-1) = 2 +5 * 4 = 2 +20 = 22, а A10 = A1 + d (10-1) = 2 +5 (10 — 1) = 2 +5 * 9 = 2 +45 = 47.
  3. Використовуючи попередню формулу можна знайти перший член арифметичної прогресії. A1 тоді буде знаходитися за формулою A1 = An-d (n-1), тобто якщо припустити, що A6 = 27, а d = 3, A1 = 27-3 (6-1) = 27-3 * 5 = 27 -15 = 12.
  4. Щоб знайти різницю (крок) арифметичній прогресії, необхідно знати перший і n-ий член арифметичної прогресії, знаючи їх, різниця арифметичної прогресії знаходиться за формулою d = (An-A1) / (n-1). Наприклад, A7 = 46, A1 = 4, тоді d = (46-4) / (7-1) = 42 / 6 = 7. Якщо d> 0, то прогресія називається зростаючою, якщо d <0 — спадання.
  5. Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти за наступною формулою. Sn = (A1 + An) n / 2, де Sn — сума n членів арифметичної прогресії, A1, An — 1-ий та n-ий член арифметичної прогресії відповідно. Скористаємося даними з попереднього прикладу, тоді Sn = (4 +46) 7 / 2 = 50 * 7 / 2 = 350 / 2 = 175.
  6. Якщо ж n-ий член арифметичної прогресії невідомий, але зате відомий крок арифметичній прогресії і номер n-го члена, то, щоб знайти суму арифметичній прогресії, можна скористатися формулою Sn = (2A1 + (n-1) dn) / 2. Наприклад, A1 = 5, n = 15, d = 3, тоді Sn = (2 * 5 + (15-1) * 3 * 15) / 2 = (10 +14 * 45) / 2 = (10 +630) / 2 = 640 / 2 = 320.

Зверніть увагу

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього і наступного члена прогресії: An = (An-1 + An +1) / 2.