Як вирішувати числові ряди


 

З назви числового ряду очевидно, що це послідовність чисел. Застосовується цей термін в математичному, а також комплексному аналізі як система наближень до чисел. Поняття числового ряду нерозривно пов’язане з поняттям межі, а основною характеристикою є збіжність.



Інструкція

  1. Нехай є числова послідовність виду a_1, a_2, a_3, …, a_n і деяка послідовність s_1, s_2, …, s_k, де n і k прагнуть до ∞, а елементи послідовності s_j являють собою суми деяких членів послідовності a_i. Тоді послідовність a є числовим рядом, а s — послідовністю його часткових сум:
    s_j = Σa_i, де 1 ≤ i ≤ j.
        
  2. Завдання на рішення числових рядів зводяться до визначення його збіжності. Кажуть, що ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і абсолютно сходиться, якщо послідовність модулів його часткових сум сходиться. І навпаки, якщо розходиться послідовність часткових сум ряду, то він розходиться.
        
  3. Щоб довести збіжність послідовності часткових сум, необхідно перейти до поняття її межі, який називають сумою ряду:
    S = lim_n → ∞ Σ_ (i = 1) ^ n a_i.
        
  4. Якщо ця межа існує і він кінцевий, то ряд сходиться. Якщо він не існує або нескінченний, то ряд розходиться. Є ще один необхідний, але не достатній ознака збіжності ряду. Це загальний член ряду a_n. Якщо він прагне до нуля: lim a_i = 0 при I → ∞, то ряд сходиться. Ця умова розглядають в сукупності з аналізом інших ознак, тому що воно недостатнє, однак якщо загальний член не прямує до нуля, то ряд однозначно розходиться.
        
  5. Приклад 1.
    Визначте відповідність низки 1/3 + 2/5 + 3/7 + … + n / (2 * n +1) + ….
    Рішення.
    Застосуйте необхідний ознака збіжності — чи прагне загальний член до нуля:
    lim a_i = lim n / (2 * n +1) = ½.
    Отже, a_i ≠ 0, отже, ряд розбігається.
        
  6. Приклад 2.
    Визначте відповідність низки 1 + ½ + 1/3 + … + 1 / n + ….
    Рішення.
    Прагне чи загальний член до нуля:
    lim 1 / n = 0. Так, прагне, виконаний необхідний ознака збіжності, проте цього недостатньо. Тепер за допомогою межі послідовності сум спробуємо довести, що ряд розходиться:
    s_n = Σ_ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + ½ + 1/3 + … + 1 / n. Послідовність сум, хоч і дуже повільно, але очевидно прагне до ∞, отже, ряд розбігається.
        
  7. Ознака збіжності Даламбера.
    Нехай існує кінцевий межа відносини подальшого і попереднього членів ряду lim (a_ (n +1) / a_n) = D. Тоді:
    D
    D> 1 — ряд розходиться;
    D = 1 — рішення невизначено, потрібно скористатися додатковою ознакою.
        
  8. Радикальний ознака збіжності Коші.
    Нехай існує кінцевий межа виду lim √ (n & a_n) = D. Тоді:
    D
    D> 1 — ряд розходиться;
    D = 1 — немає однозначної відповіді.
        
  9. Ці дві ознаки можна використовувати в сукупності, проте ознака Коші сильніший. Існує також інтегральний ознака Коші, згідно з яким для визначення збіжності ряду необхідно знайти відповідний визначений інтеграл. Якщо він сходиться, то сходиться і ряд, і навпаки.