Як вирішувати диференціальні рівняння лінійні

Як вирішувати диференціальні рівняння лінійні

Диференціальне рівняння, у яке невідома функція та її похідна входять лінійно, тобто в першій мірі, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Інструкція

  1. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння першого порядку такий:

    y ‘+ p (x) * y = f (x),

    де y — невідома функція, а p (x) і f (x) — деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами.
  2. Якщо f (x) ≡ 0, то рівняння називають однорідним, якщо ні — то, відповідно, неоднорідним.
  3. Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено методом розділення змінних. Його загальний вигляд: y ‘+ p (x) * y = 0, отже:

    dy / dx =-p (x) * y, звідки випливає, що dy / y =-p (x) dx.
  4. Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:

    ∫ (dy / y) = — ∫ p (x) dx, тобто ln (y) = — ∫ p (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (- ∫ p (x) dx) ).
  5. Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутої правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C у вирішенні однорідного рівняння невідомою функцією φ (x). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді:

    y = φ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx)).
  6. Диференціюючи це вираз, отримаємо, що похідна від y дорівнює:

    y ‘= φ’ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx) — φ (x) * p (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx).

    Підставивши знайдені вирази для y і y ‘у вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату:

    dφ / dx = f (x) * e ^ (∫ p (x) dx).
  7. Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд:

    φ (x) = ∫ (f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx + C1.

    Таким чином, шукана функція y виразиться у вигляді:

    y = e ^ (- ∫ p (x) dx) * (C + ∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx).
  8. Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати приватне рішення заданого рівняння:

    y1 = (e ^ (- ∫ p (x) dx)) * (∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx).

    Тоді повне рішення можна буде висловити у вигляді:

    y = y1 + C * e ^ (- ∫ p (x) dx)).
  9. Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і спільного рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку.