Диференціальне рівняння, у яке невідома функція та її похідна входять лінійно, тобто в першій мірі, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Інструкція
- Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння першого порядку такий:
y ‘+ p (x) * y = f (x),
де y — невідома функція, а p (x) і f (x) — деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами. - Якщо f (x) ≡ 0, то рівняння називають однорідним, якщо ні — то, відповідно, неоднорідним.
- Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено методом розділення змінних. Його загальний вигляд: y ‘+ p (x) * y = 0, отже:
dy / dx =-p (x) * y, звідки випливає, що dy / y =-p (x) dx. - Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:
∫ (dy / y) = — ∫ p (x) dx, тобто ln (y) = — ∫ p (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (- ∫ p (x) dx) ). - Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутої правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C у вирішенні однорідного рівняння невідомою функцією φ (x). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді:
y = φ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx)). - Диференціюючи це вираз, отримаємо, що похідна від y дорівнює:
y ‘= φ’ (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx) — φ (x) * p (x) * e ^ (- ∫ p (x) dx).
Підставивши знайдені вирази для y і y ‘у вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату:
dφ / dx = f (x) * e ^ (∫ p (x) dx). - Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд:
φ (x) = ∫ (f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx + C1.
Таким чином, шукана функція y виразиться у вигляді:
y = e ^ (- ∫ p (x) dx) * (C + ∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx). - Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати приватне рішення заданого рівняння:
y1 = (e ^ (- ∫ p (x) dx)) * (∫ f (x) * e ^ (∫ p (x) dx)) dx).
Тоді повне рішення можна буде висловити у вигляді:
y = y1 + C * e ^ (- ∫ p (x) dx)). - Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і спільного рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку.
