Як вирішувати диференціальне рівняння


 

Завдання на диференціальне й інтегральне числення є важливими елементами закріплення теорії математичного аналізу, розділу вищої математики, що вивчається у вузах. Диференціальне рівняння вирішується методом інтегрування.



Інструкція

  1. Диференціальне числення досліджує властивості функцій. І навпаки, інтегрування функції дозволяє за даними властивостями, тобто похідним або диференціалом функції знайти її саму. В цьому і полягає рішення диференціального рівняння.
  2. Будь-яке рівняння є співвідношенням між невідомою величиною і відомими даними. У разі диференціального рівняння роль невідомого грає функція, а роль відомих величин — її похідні. Крім цього, співвідношення може містити незалежну змінну:

    F (x, y (x), y ‘(x), y» (x), …, y ^ n (x)) = 0, де x — невідома змінна, y (x) — функція, яку потрібно визначити, порядок рівняння — це максимальний порядок похідної (n).


  3. Таке рівняння називається звичайним диференційним рівнянням. Якщо ж у співвідношенні кілька незалежних змінних і приватні похідні (диференціали) функції по цим змінним, то рівняння називається диференціальним рівнянням з приватними похідними і має вигляд:

    x ∂ z / ∂ y — ∂ z / ∂ x = 0, де z (x, y) — шукана функція.


  4. Отже, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння, необхідно вміти знаходити первісні, тобто вирішувати задачу, зворотну диференціюванню. Наприклад:

    Вирішити рівняння першого порядку y ‘=-y / x.


  5. Рішення

    Замініть y ‘на dy / dx: dy / dx =-y / x.


  6. Наведіть рівняння до виду, зручного для інтегрування. Для цього помножте обидві частини на dx і розділіть на y:

    dy / y =-dx / x.


  7. Проінтегріруйте:

    ∫ dy / y = — ∫ dx / x + С
    ln | y | = — ln | x | + C.


  8. Уявіть константу у вигляді натурального логарифма C = ln | C |, тоді:

    ln | xy | = ln | C |, звідки xy = C.


  9. Це рішення називається загальним рішенням диференціального рівняння. С — це константа, безліч значень якої визначає безліч рішень рівняння. При будь-якому конкретному значенні З рішення буде єдиним. Таке рішення є приватним рішенням диференціального рівняння.