Як вирішувати геометричну прогресію

Як вирішувати геометричну прогресію

Геометрична прогресія — це така послідовність чисел b1, b2, b3, … , B (n-1), b (n), що b2 = b1 * q, b3 = b2 * q, … , B (n) = b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Іншими словами, кожен член прогресії виходить з попереднього множенням його на деякий ненульовий знаменник прогресії q.

Інструкція

  1. Завдання на прогресії найчастіше вирішуються складанням і наступним рішенням системи рівнянь щодо першого члена прогресії b1 і знаменника прогресії q. Для складання рівнянь корисно пам’ятати деякі формули.
  2. Як виразити n-й член прогресії через перший член прогресії і знаменник прогресії:

    b (n) = b1 * q ^ (n-1).
  3. Як знайти суму перших n членів геометричної прогресії, знаючи перший член b1 і знаменник q:

    S (n) = b1 + b2 +…+ b (n) = b1 * (1-q ^ n) / (1-q).
  4. Розглянемо окремо випадок | q | <1. Якщо знаменник прогресії по модулю менше одиниці, маємо нескінченно убуваючу геометричну прогресію. Сума перших n членів нескінченно спадної геометричної прогресії шукається так само, як і для неубутною геометричній прогресії. Однак у випадку нескінченно спадної геометричної прогресії можна знайти також суму всіх членів цієї прогресії, оскільки при нескінченному збільшенні n буде нескінченно зменшуватися значення b (n), і сума всіх членів буде прагнути до певної межі. Отже, сума всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює:

    S = b1 / (1-q).
  5. Ще одна важлива властивість геометричної прогресії, яке і дало геометричній прогресії таку назву: кожен член прогресії є середнім геометричним сусідніх з ним членів (попереднього і наступного). Це означає, що b (k) є корінь квадратний з твору:

    b (k-1) * b (k +1).