як вирішувати коріння


 

Вирішувати коріння, або ірраціональні рівняння, навчають у 8 класі. Як правило, основним прийомом для знаходження рішення в цьому випадку є метод зведення в квадрат.



Інструкція

  1. Ірраціональні рівняння необхідно привести до раціонального для того, щоб знайти відповідь, вирішивши його традиційним способом. Однак крім зведення в квадрат тут додається ще одна дія: відкидання стороннього кореня. Це поняття пов’язане з ірраціональністю коренів, тобто це рішення рівняння, підстановка якого призводить до безглуздя, наприклад, корінь з від’ємного числа.
      
  2. Розглянемо простий приклад: √ (2 • x + 1) = 3. Зведіть обидві частини рівності в квадрат:
    2 • x + 1 = 9 → x = 4.
  3. Виходить, що x = 4 — це корінь одночасно і звичайного рівняння 2 • x + 1 = 9 і вихідного ірраціонального √ (2 • x + 1) = 3. На жаль, не завжди це буває просто. Іноді метод зведення в квадрат призводить до абсурду, наприклад:
    √ (2 • x — 5) = √ (4 • x — 7)
  4. Здавалося б, треба просто звести обидві частини в другу ступінь і все, рішення знайдено. Проте в реальності виходить наступне:
    2 • x — 5 = 4 • x — 7 → -2 • x = -2 → x = 1.

    Підставте знайдений корінь у вихідне рівняння:
    √ (-3) = √ (-3).
    x = 1 і називається стороннім коренем ірраціонального рівняння, яке не має інших коренів.


  5. Приклад складніше:
    √ (2 • x ² + 5 • x — 2) = x — 6 ↑ ²
    2 • x ² + 5 • x — 2 = x ² — 12 • x + 36
    x ² + 17 • x — 38 = 0
  6. Вирішити звичайне квадратне рівняння:
    D = 289 + 152 = 441
    x1 = (-17 + 21) / 2 = 2; x2 = (-17 — 21) / 2 = -19.
      
  7. Підставте x1 і x2 у вихідне рівняння, щоб відсікти сторонні корені:
    √ (2 • 2 ² + 5 • 2 — 2) = 2 — 6 → √ 16 = -4;
    √ (2 • (-19) ² — 5 • 19 — 2) = -19 — 6 → √ 625 = -25.
    Це рішення неправильне, отже, рівняння, як і попереднє, не має коренів.
  8. Приклад із заміною змінної.
    Буває, що просте зведення обох частин рівняння в квадрат не звільняє від коренів. В цьому випадку можна скористатися методом заміни:
    √ (x ² + 1) + √ (x ² + 4) = 3 [y ² = x ² + 1]
    y + √ (y ² + 3) = 3 → √ (y ² + 3) = 3 — y ↑ ²
  9. y ² + 3 = 9 — 6 • y + y ²
    6 • y = 6 → y = 1.
    x ² + 1 = 1 → x = 0.
  10. Перевірте результат:
    √ (0 ² + 1) + √ (0 ² + 4) = 1 + 2 = 3 — рівність дотримана, значить, корінь x = 0 є дійсним рішенням ірраціонального рівняння.