Як вирішувати лінійні рівняння з Гаусом

Як вирішувати лінійні рівняння з Гаусом

Для вирішення поставленого завдання буде потрібно поняття рангу матриці, а також теорема Кронекера-Капеллі. Рангом матриці називається розмірність найбільшого відмінного від нуля визначника, який можна виділити з матриці.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Теорема Кронекера-Капеллі звучить наступним чином: для того щоб система лінійних рівнянь (1) була совместна необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу матриці системи. Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. рис. 1), де аij — коефіцієнти системи, хj — невідомі, bi — вільні члени (i = 1, 2, …, т; j = 1, 2 , …, п).
  2. Метод Гаусса

    Метод Гаусса полягає в тому, що вихідну систему шляхом виключення невідомих перетворять до східчастого вигляду. При цьому еквівалентні лінійні перетворення виконуються над рядками в розширеній матриці.

    Метод складається з прямого і зворотного ходів. Прямим ходом є приведення розширеної матриці системи (1) до східчастого вигляду шляхом елементарних перетворень над рядками. Після чого відбувається дослідження системи на спільність і визначеність. Потім за ступеневою матриці відновлюється система рівнянь. Вирішення цієї ступеневої системи рівнянь є зворотним ходом методу Гауса, в якому, починаючи з останнього рівняння, послідовно обчислюються невідомі з великим порядковим номером, і їх значення підставляються у попереднє рівняння системи.
  3. Дослідження системи в кінці прямого ходу проводиться по теоремі Кронекера-Капеллі порівнянням рангів матриці системи А (rangA) і розширеної матриці А ‘(rang (A «).

    Слід розглянути реалізацію методу Гауса на прикладі.

    Приклад. Вирішити систему рівнянь (див. рис.2).
  4. Рішення. Розв’яжіть систему методом Гауса. Випишете розширену матрицю системи і приведіть її до східчастого увазі елементарними перетвореннями рядків (прямий хід). Рядки лише складаються, з урахуванням зазначених збоку коефіцієнтів і на напрями, заданих перпендикулярів зі стрілками (див. рис. 3), тому система сумісна і має єдине рішення, тобто є визначеною.
  5. Складіть систему ступеневої виду і вирішіть її (зворотний хід). Рішення наведено на рис.4. Перевірку легко зробити методом підстановки.

    Відповідь: x = 1, y =- 2, z = 3.

    Якщо число рівнянь менше числа змінних, то виникають вільні невідомі, що позначаються вільними постійними. На стадії зворотного ходу через них виражаються всі інші невідомі.